中考數學真題:這條線段長度很多同學說難求,原來忽略了這條定理

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根據相似三角形的性質求解線段長度是數學中考的常考題型，本文就例題詳細解析這類題型的解題方法，希望能給初三學生的數學複習帶來幫助。

例題

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，AD，BE相交於點F，若AF=4，EF=√2，求AC的長度。

解題過程：

連接CF，過點E作EG⊥AD於點G

根據題目中的條件：AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，則∠FAB=∠CAB/2，∠FBA=∠CBA/2；

根據題目中的條件：∠C=90°，則∠CAB+∠CBA=90°;

根據結論：∠CAB+∠CBA=90°，∠FAB=∠CAB/2，∠FBA=∠CBA/2，則∠FAB+∠FBA=45°；

根據外角的性質和結論：∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠FAB+∠FBA=45°，則∠AFE=45°；

根據題目中的條件和結論：EG⊥AD，∠AFE=45°，cos∠AFE=GF/EF=√2/2，EF=√2，則GF=1；

根據等角對等邊性質和結論：∠AFE=∠FEG=45°，GF=1，則EG=GF=1；

根據題目中的條件和結論：AF=4，GF=1，則AG=AF-GF=3；

根據勾股定理和結論：EG⊥AD，AG=3，EG=1，則AE=√10；

根據內心的判定和題目中的條件：AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，則點F為△ABC的內心，即CF平分∠ACB；

根據題目中的條件和結論：∠ACB=90°，CF平分∠ACB，則∠ACF=∠ACB/2=45°;

根據相似三角形的判定和結論：∠ACF=∠AFE=45°，∠CAF=∠CAF，則△ACF∽△AFE；

根據相似三角形的性質和結論：△ACF∽△AFE，則AF/AE=AC/AF；

根據結論：AF/AE=AC/AF，AF=4，AE=√10，則AC=8√10/5。

結語

解決本題的關鍵是根據題目給出的兩條角平分線的條件確定出三角形的內心，根據外角和角平分線性質得到角度間的等量關係，證明到一組相似三角形，添加輔助線構造出等腰直角三角形，求得相關線段的長度，再根據相似三角形對應邊成比例的性質就可以求得題目需要的值。