什麼樣的數列要分奇數項和偶數項才能求解?題中給的已知就是提示

2020-12-15 玉w頭說教育

原題

原題：已知數列「an」滿足na(n+2)－(n+2)an=λ(n^2+2n)，其中a1=1，a2=2，若an<a(n+1)對任意的n∈N+恆成立，則實數λ的取值範圍是？

圖一

這道題是數列的題，其中又結合了不等式求λ取值範圍，所以最直觀的想法就是要將數列an的通項公式求出來，根據an的通項公式求出an和a(n+1)的表達式，再根據an<a(n+1)列出不等式求出λ的取值範圍。

但是我們通常在計算an的通項公式時，一般已知中只會給出首項a1的值，但是這道題中不僅給出了首項a1的值，也給出了第二項a2的值。那這道題為什麼多給出第二項a2的值呢？

其實這道題再給我們提示：由na(n+2)－(n+2)an=λ(n^2+2n)變形出來的應該是兩個數列。

由na(n+2)－(n+2)an=λ(n^2+2n)變形後能得到哪兩個數列？

因為該題中是對任意的n屬於正自然數恆成立的問題，所以可以將na(n+2)－(n+2)an=λ(n^2+2n)變形為na(n+2)－(n+2)an=λn(n+2)，左右兩邊除以n(n+2)得到a(n+2)/(n+2)－an/n=λ。

式子a(n+2)/(n+2)－an/n=λ我們詐看上去，這個應該是一個等差數列啊，將a(n+2)/(n+2)和an/n都看成一個整體，這不就是是等差數列的項數之差等於一個常數嗎？

但是我們仔細觀察當n=1時，該式子為a3/3－a1/1=λ，當n=2時，該式子為a4/4－a2/2=λ。

這兩個式子沒什麼關係，因為如果a(n+2)/(n+2)－an/n=λ是等差數列的話，當n=1的式子為a3/3－a1/1=λ時，當n=2時的式子應該是與前一個式子中的a3/3聯繫在一起的，即a5/5－a3/3=λ的形式，所以a(n+2)/(n+2)－an/n=λ這樣看來，它不是一個等差數列。

上述已經提到由給出的已知項，我們由已知na(n+2)－(n+2)an=λ(n^2+2n)變形出來的應該是兩個數列，所以a(n+2)/(n+2)－an/n=λ也應該是可以分為兩個數列的。

當n取1,3,5,…奇數項時，有a3/3－a1/1=λ，a5/5－a3/3=λ，a7/7－a5/5=λ，…，a(n+2)/(n+2)－an/n=λ，且a1/1=1，所以「an/n」是由所有奇數項且首項為1，公差為λ的等差數列；

當n取2,4,6,…偶數項時，有a4/4－a2/2=λ，a6/6－a4/4=λ，a8/8－a6/6=λ，…，a(n+2)/(n+2)－an/n=λ，且a2/2=1，所以「an/n」是由所有偶數項且首項為1，公差為λ的等差數列。

圖二

所以由na(n+2)－(n+2)an=λ(n^2+2n)變形得到兩個等差數列。

要想證明對任意的n∈N+都有an<a(n+1)恆成立的話，就要使這兩個數列對任意的n屬於正自然數都成立。

兩個數列對於任意的n屬於正自然數時都有an<a(n+1)恆成立時求λ

⑴當數列「an/n」是由所有奇數項且首項為1，公差為λ的等差數列時，求出an和a(n+1)的表達式。

根據等差數列的通項公式得到an/n=1+［(n+1)/2－1］λ，注意這裡的奇數項表示(n+1)/2，不能簡單地寫成n。

整理得到an=n+(n^2－n)λ/2，所以a(n+1)=(n+1)+［(n+1)^2－(n+1)］λ/2。

因為對任意的n∈N+都有an<a(n+1)恆成立，所以n+(n^2－n)λ/2<(n+1)+［(n+1)^2－(n+1)］λ/2，解得到λ(n－1)>－2。

當n=1時，λ(n－1)=0>－2，所以λ屬於R；

當n>1時，λ>－2/(n－1)，當n趨近無窮大時，－2/(n－1)趨近於0，所以λ≥0。

圖三

⑵當數列「an/n」是由所有偶數項且首項為1，公差為λ的等差數列時，求出an和a(n+1)的表達式。

根據等差數列的通項公式得到an/n=1+(n/2－1)λ，整理得到an=n+(n^2－2n)λ/2，所以a(n+1)=(n+1)+［(n+1)^2－2(n+1)］λ/2。

因為對任意的n∈N+都有an<a(n+1)恆成立，所以n+(n^2－2n)λ/2<(n+1)+［(n+1)^2－2(n+1)］λ/2，解得到λ>－2/3n，當n趨近無窮大時，－2/3n趨近於0，所以λ≥0。

圖四

綜上所述，實數λ的取值範圍為［0，+∞）。

總結

當數列中滿足項數之差為一個常數時，該數列也不一定是等差數列。判斷該數列是否是等差數列時，還要根據等差數列的定義來嚴格審查。

像題中給出的數列要將數列分為奇數項和偶數項時才是等差數列的類型，一般在題中都會給出一定提示，所以在做題時，要注意思考給出首項和第二項，即給出兩項已知的用意。

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