簡單來講，凱利公式是一個根據賠率來計算最佳投注比例，以此來獲得最高賭博收益的公式。
在巴菲特、查理·芒格和比爾·格羅斯的推廣下，這個公式早已風靡投資圈，被稱為「資金管理神器」。
凱利公式有個最基本的道理：正期望值的遊戲才可以下注。
專業的資金管理者，會尋求他們認為自己有優勢的投資，只有當確信自己勝率更大的時候，才會重拳出擊。
正如芒格所說：「當世界給予你機會的時候，聰明的投資者會出重手。當他們具有極大贏面時，他們會下大注。其餘的時間裡，他們做的僅僅是等待。」
以下，祝開卷有得。
by @小璇子
圖文來源/量子學派（ID：quantumschool）
作者/李韻閣
賭王何鴻燊接手葡京賭場時，業務蒸蒸日上，但理性的賭王仍然忐忑，請教「賭神」葉漢：「如果這些賭客總是輸，長此以往，他們不來了怎麼辦？」葉漢笑道：「一次賭徒，一世賭徒，他們擔心的是賭場不在怎麼辦。」
葉漢說的只是心理層面，現代賭場程序方面的設計，比葉漢當年要縝密得多，賭場集中了概率、級數、極限方面的數學經驗。一個普通賭徒，只要長久賭下去，最終一定會血本無歸，所謂的各種致勝絕技，除了電影裡的周星星，現實裡的周星馳都不信。
賭徒永遠不明白，與自己對賭的不是運氣，也不是莊家，他們是在與狄利克雷、伯努利、高斯、納什、凱利這樣的大師對決數學，贏的勝率能有多大？
我們先說一個最簡單的賭博遊戲：賭運氣猜硬幣。
規則是這樣的，擲硬幣，正面贏反面輸，贏了可以拿走一倍的錢，輸了會賠掉本金，你玩不玩？你可能覺得，唉，這遊戲不錯，公平！恰好運氣也不錯，第一把贏了100元！你高興壞了，這時候莊家跟你說，你看你也贏了這麼多，我呢，辛辛苦苦搭個場子，最後什麼都沒撈著，要不這樣，你贏了，就給我留下2％，就算是救濟救濟老哥，給捧捧場！你一聽，2％，才這麼點，拿去吧，不差錢！好了，這事就這麼定下來了。
然而你做夢都想不到的是：就是這小小的2％，最後卻讓你輸得傾家蕩產、家破人亡。
這小小的2個點的贏的概率貌似不起眼，但配上「大數法則」，就成為了賭場賺錢的利器！「大數法則」是數學家伯努利提出來的，說的是假設n(a)是n次獨立重複實驗中發生a的次數，p是每次實驗發生a的概率，當n足夠大的時候，對任意正數ε，有lim{[|(n(a)/n)| p]<ε}=1，公式這麼複雜，99%的賭徒都看不懂，看不懂沒關係，我們只看結果，最終莊家贏到的錢=0.02*a。
莊家賺的錢最終只跟玩家下注大小有關！這也就是我們常說的「流水」，只要玩家不停地玩，莊家就會不停地賺！而不管玩家是輸是贏，莊家始終是贏的！為什麼賭場有「最小投注額」，因為擴大「流水」才能將利潤最大化！
所以別以為自己有多聰明，你要慶幸自己玩得不夠久而已，十賭九輸正源於此。
我們再進一步，就算雙方的概率均等，你仍然是一個輸家，這裡涉及到「無限財富」和「賭徒輸光定律」，這個定理在現實生活中有許多應用，如「姓氏消亡」「線粒體夏娃假說」，在概率均等的情況下，誰的資本大，誰的贏率高。
你和我對賭，你我各有5塊錢，輸光為止。那麼你贏的概率是50%，輸的概率也是50%。
你和我對賭，你有5塊錢，我有10塊錢，輸光為止，那麼你贏的概率就只有33.3%，而輸的概率有66.7%（這裡涉及到高斯的概率論和泰勒的級數論），後面隱藏的就是賭場大BOSS凱利公式，後面小節裡將詳加表述。
對於小散戶，賭場一般可以認為財富是無限多的，你贏不垮它，它卻能吃了你。在賭場老闆的眼裡，世界只有兩種人：一種現在是窮鬼，一種未來是窮鬼。
「無限財富定律」也解釋了賭場設置最大投注額原因。不是老闆好心保護賭徒免遭破產，只是老闆為了保護自己設置的安全屏障，想像下萬一哪天比爾蓋茨去賭場找樂子，一次性砸個幾百億進去，那賭場老闆真的要哭了，雖然這種事情不太可能發生，但也不能不防，所以賭場根據自己的財富能力設計最高投注額，也就是為了抵抗「無限財富定理」！
其實公式的作者，凱利，並不是一個資深賭徒，而是一位著名的物理學家，他發明這個公式的時候正是著名貝爾實驗室 中的一名研究科學家，研究方向是當時還算新興前沿的電視信號傳輸協議。
講公式前再賣個關子，先來看一場賭局：
假設您有100美金進行一項拋硬幣遊戲——如果硬幣為正面，您1美元就贏2美元；如果硬幣為反面，您就輸1美元。您每次該投入本金的百分之多少來獲得收益的最大化呢？
我本人的第一感覺是——不會吧，這也會有答案，其實就這樣一個看似無解的問題，凱利公式告訴您：25%。
那麼，凱利公式(Kelly formula)究竟是什麼?
f*=（bp-q)/b
b = 賠率（賠率＝期望盈利÷可能虧損=2美元盈利÷1美元虧損，賠率就是2了）
p = 成功概率（拋硬幣正反面都是50%的概率）
q = 失敗概率 （也就是 1-p，賭局中也是50%了 ）
以上面遊戲為例計算過程就是(bp-q)÷ b =(2 * 50%-50%)÷ 2= 25%。
從公式我們可以獲得我們投資的一點啟發：
只有出現贏面(bp - q)為正的時候，遊戲才可以下注，這是一切賭戲和投資最基本的道理，也就是前面講的"沒有把握，決不下注"。
贏面還要除以"b"才是投注資金比例。也就是說贏面相同的情況下，賠率越小越可以多押注。如果不理解這句話，我們看看例子：
用凱利公式我們知道"小博大"遊戲只能押總資金的4%，但是按大部分人的賭性，恐怕會選"小博大"遊戲，而且重倉甚至show hand吧？但是，理性的選擇應該是"大博小"，因為他快多了，因為可以用40%的倉位！所以，說到這，我們投資股票的時候如果想增大短期倉位可能最優的選擇就是考慮一下重倉波動性小但是上漲概率大的大盤股，而對于波動劇烈的小盤股，我們必須保留低倉位運作。
他可靠麼？我想這個世界上已經有一大群數學家的論據來支持這個最優答案，我們這就簡單以廣發證券的一張圖來消除大家的疑慮吧(題目略，圖中一共五組選項，紅色曲線的10%自然就是凱利公式算出來的答案)
其實，投資就像一場賭博，我們知道獲勝的公式=獲勝概率*操作次數*參與倉位。而要說金融圈最著名的人，巴菲特一定在其中；要說金融圈最著名的一個公式，凱利公式(Kelly formula)一定在其中，而且，巴菲特也用過它來管理資金哦。那我們也嘗試把凱利公式應用到我們的策略吧：
假如我們能找到一種盈利模式，這裡就舉例我們最熟悉的追漲停板策略吧，在一隻個股即將漲停的時候買入，假設你是超級高手，你每次打板都能盈利，那麼你的成功概率就是100%；假設你是剛入市的新手，10次打板9次虧，那麼你的成功概率就是10%。我們按照10%~100%的不同成功概率進行分檔，每隔10%劃分為一檔。
我們來看看市場好的時候：
上圖凱莉公式的計算結果顯示，市場好的時候，如果真的追漲停有4個漲停板的盈利，那麼，只要你有30%的把握就可以出手了。
我們再來看看市場差的時候：
這裡凱利公式告訴我們，市場差的時候，除非你能有80%的獲勝信心，不然還是不要隨意輕易出手。
如果您覺得上面的公式有點複雜，那要不考慮一下巴菲特版的凱利公式吧(網傳節選自《巴菲特的投資組合》)：
X=2p-1
p=成功的概率
X=投入的資金百分比
簡單吧，還是以上面的例子做案例，如果市場差的，有一個80%概率打板盈利的投資機會，那麼就買入2 * 80% - 1 = 60%的股票倉位，如果有一個100%盈利的投資機會，那麼就全倉吧，所以，巴菲特版的公式思維更簡單，只是似乎比原版進取些，因為忽略了賠率的影響。
如果您要加入止損位，那麼可以把公式優化成：
f*=(b*(1+p)-1)÷(b*止損幅度)
所有的賭場遊戲，幾乎都是對賭徒不公平的遊戲。
但這種不公平並非是莊家出老千，現代賭場光明正大地依靠數學規則賺取利潤，從某種意義上來講，賭場是最透明公開的場所，如果不是這樣，進出賭場不知有多少狂命之徒，何鴻燊早怕九條命都不夠。
凱利公式不是憑空設想出來的，這個數學模型已經在華爾街得到驗證，除了在賭場被奉為正神，也被稱為「資金管理神器」，是比爾格羅斯等投資大佬的心頭之愛，巴菲特依靠這個公式也賺了不少銀子。
1955年6月，美國出現了一個極其有名的電視節目，叫做64000 dollar question。答題者通過不斷答對題來累積獎金，一時風靡全美，黃金時段收視率達到85%，各路山寨節目不斷。這樣一個問答秀迅速吸引了場外下注來賭贏家的賭盤。這檔節目的錄製是在紐約，東海岸現場直播，而西海岸則有延時。當時的新聞爆出一些醜聞，有關西海岸的賭徒通過電話提前得知結果，趕在了西海岸直播前下注。
凱利看了新聞之後，他想到這個如何使具備一定內幕消息但是同時有一部分雜音的賭徒最大化長期獲益的問題，可以使用他們實驗室關於諮詢學和噪音傳遞研究的公式來解決。於是，他以一個賽馬的模型，推出了凱利公式的雛形。
凱利的理論是這樣的，對於有一定內幕消息的賽馬人來說，第一個自然的想法當然是放入全部的資金，但是這樣就會造成萬一輸掉血本無歸的慘境。而在凱利想要解決的這個問題中，在任何一個時刻輸掉全部資金顯然是不符合最大化累積收益的需求的。
真正應該關心的是長期累積的收入，對於累積的收益來說，最後的結果只和輸贏的局數有關，而和輸贏的順序無關。所以他推出了一個最佳的投入倉位比，來最大化長期的累積收益：
bet = edge / odds = 預期獲益／獲益回報
edge=bp-q
這裡的edge 在賭博中可以理解為 獲勝的概率＊賠率 - 失敗的概率，也就是上文提到的贏面。當edge的數字為正的時候，這就是值得下注的比賽，而edge為0或者負數的情況說明賭徒不具備edge, 不應該下注。
而odds則是賠率，我們更可以把它理解為一種公眾對概率的估計，是公開的消息。
我們可以用凱利模擬這樣一種情況：小明現在有100元的起始資金，他現在將要投硬幣4次，每一次他投出硬幣為正面的時候，將獲得6倍資金回報(1陪5)，當他投出硬幣為反面，陪光。請問小明要如何分配每次下注資金，才能最大化他4次投幣之後的收益呢？
根據凱利公式計算，我們可以建立起這樣一個正反面的概率各為50%，edge = 0.5*5-0.5 = 2, odds為5，最佳倉位為40%，可以看到最終在16個可能出現的結果中(4次投擲)，12.96和8100出現1次，64.8和1620出現4次，324出現6次，16次結果的收益為324。凱利公式的目的正是最大化這些結果的收益。
由於凱利公式著眼於長期回報率和風險的控制，所以天然就吸引投資人想要把它應用在投資當中。比如著名的傳奇數學家Edward Thorp讀了凱利的論文之後，先是自學Fortran用IBM大型機開發了一套專門用於21點的算法(感興趣的同學可以去看下電影21，電影裡的card counting的方法正是獲得edge的來源），帶上凱利的導師在拉斯維加斯大把吸金。
沒有誰能說服一個墮落的賭徒，因為這是人格的缺陷。
但如果你還是一個具有理性精神的人，別再迷戀所謂的運氣。
賭徒能夠依靠的是祖宗保佑，而賭場後面的大佬是高斯、凱利、伯努利這樣的大神。
你怎麼可能贏得了莊家？
論理性，沒有人能比賭場老闆更理性。
論數學，沒有人能比賭場老闆請的專家更精通數學。
論賭本，沒有人能比賭場老闆的本錢更多。
如果你想真正贏得這場賭局，法則只有一個：不賭。
如果有個拋硬幣猜正反的賭博遊戲，你押1塊錢，贏了可以拿回本錢，另外賺2塊錢的利潤。輸了，押的1塊錢就會輸掉。請問你會參與嗎？怎麼下注？
1. 這個賭局你會參與嗎？
如果你學過數學的概率論，第一個問題不難回答：這個賭局是值得參與的。
因為這個賭局的期望值是正數，也就是說贏面是正的，對莊家無利對參與賭博的人是有利的。
期望值是隨機試驗在同樣的機會下重複多次的結果計算出的等同「期望」的平均值。
在這個上面的打賭遊戲中，贏了你可以贏2塊，輸了你只輸1塊錢，賠率=期望盈利/可能虧損，所以賠率為2；
硬幣拋出正反面的概率都是50%，期望值=賠率*贏的概率-輸的概率，所以期望值為0.5（2*50% -50%）。第一局輸了，損失1塊，第2局贏了2塊，那兩局的平均盈利為（-1+2）/2 ，即每局預期可以賺0.5元。
2. 如果參與，你口袋裡面共有100塊錢，你會怎麼下注？
你肯定不會每次都全押，因為你贏的概率只有50%，一次押錯即清零出局。所以每次都全押是死的最快的方式，除非你贏的概率是100%，否則每次都ALL IN 簡直是自殺。
那是不是每次都押1塊錢？這樣下注你肯定會賺錢，你贏是因為你參與的這個賭局對你太有利了。遇到這麼有利的機會，這樣下注簡直是浪費機會。
如果讓你玩押對了贏1塊，錯了輸1塊的遊戲，那賠率就成了1，期望值變成了0（1*50% -50%），也就是說每次下注1塊錢平均下來贏錢的均值為0，玩這樣的賭局就是浪費時間。
如果讓你玩押對了贏0.9元，錯了輸1塊的遊戲，賠率就成了0.9，期望值變成了-0.05（0.9*50% -50%），也就是說每次下注1塊錢平均下來會輸掉0.05元，這根本就是輸家的遊戲，這種賭局參都不要參與，一直玩下去，遲早輸光。
押1塊贏了可以賺2塊，輸了只輸1塊這樣的賭局，簡直可遇不可求。巴菲特曾經說過「當天上掉金子時,請用水桶去接,而不是用頂針。」 巨大的機會是很少發生的，發生了一定要好好把握。
那還是回到上面的問題？應該押多少？應該押自己總資金的25%，也就是第一次押25元。
如果你贏了，第2局你就有了150元（100塊本金加50塊盈利，那第2局就應該押37.5元（150元*25%）；如果你輸了，第2局你就只有75元（100塊本金減去25塊損失），那第2局就應該押18.75元（75元*25%）。只要賠率、概率不變化，就要一直玩下去，因為這個賭局對參賭人極為有利。
那這個25%怎麼來的？凱利公式。
期望值0.5，贏的概率為50%，那應該投入的資金比例為0.5/50%，即每次下注25%的資金。
3.倉位管理神器
凱利公式最初為 AT&T 貝爾實驗室物理學家約翰·拉裡·凱利根據同事克勞德·艾爾伍德·香農於長途電話線雜音上的研究所建立。凱利說明香農的資訊理論要如何應用於一名擁有內線消息的賭徒在賭馬時的問題。賭徒希望決定最佳的賭金額，而他的內線消息不需完美，即可讓他擁有有用的優勢。凱利的公式隨後被香農的另一名同事愛德華·索普應用在二十一點和股票市場中。
在公式中，各參數意義為：
f* = 應投注的資本比值
p = 贏的概率（也就是拋硬幣正面的概率）
q = 輸的概率，即1 - p（也就是硬幣反面的概率）
b = 賠率，等於期望盈利 ÷可能虧損（也就是盈虧比）
公式上面的分子bp-q代表「贏面」，數學中叫「期望值」。
凱利公式是一個根據賠率來計算最佳投注比例，以此來獲得長期看最高賭博收益的公式。
這樣的一個關於賭博的公式被股神巴菲特和他的合伙人查理芒格以及債券之王比爾、格羅斯頻頻提及。
查理芒格曾更直白的表示過：「股市本質上就是個大賭場，不這麼認為的人很天真。如果你仔細想想，就會明白賽馬場分享賭金的方法就是一個股票市場系統，每個人都進去押注，機會也會隨著賭注的變化而變化，這就是股市發生的情況。」
正是股市和賭場存在很強的相似性，凱利公式順利的從一個賭徒的工具演變成了投資者的工具。
但股市終究和賭博遊戲是有區別的。賭博中的概率、賠率是確定的，期望值也是明確可以計算的；股市中股票的漲跌概率、賠率都是基於投資者個人經驗和對市場的理解來主觀判斷的，很難精確定義。
在《巴菲特的投資組合》這本書介紹了巴菲特版的簡化版的凱利公式
用公式表達為：２Ｐ－１＝Ｘ
其含義是：你所押的資金百分比（Ｘ）等於２倍的獲勝概率減１。
如果你獲勝的概率為0.7，那麼所押的資金比例應為0.4（即40%）；
如果你獲勝的概率為0.9，那麼所押的資金比例應為0.8（即80%）。
儘管凱利公式在實際運用時有諸多問題，但不妨礙它仍然是各個投資大師用來科學賭博管理倉位的最好神器。
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關於凱利問題，個人認為比較使用於投價，但對於資金管理有非常大的幫助，買賣點的時機選擇上可以帶來很大的幫助。
1、凱利優化模式的公式可表達為2p-1 =X，P為獲勝的概率，X為投入資金比率。凱利優化模式的問題在於只考慮到獲勝概率與資金投入的關係，沒有考慮到虧損的概率與資金投入的關係。由此引人凱利公式。
2、凱利公式可以表達為：X＝[（R+1）×P－1]/R，P＝系統獲利準確率的百分比,R＝盈利相對虧損的比例。凱利公式的地雷在於：造成資產劇烈振蕩的成因並不在系統的準確率，也不是贏或輸比例或平倉虧損金額，上下振蕩的原因來自虧損最大的那筆交易。（引用：我們很容易創造出一種準確率高達90％、一定會發大財、但最後卻毀滅掉我們的系統來欺騙自己。聽起來很不可思議，不是嗎？但事實確實如此，以下就是為什麼會這樣的解釋。準確率高達90％的系統每次交易利潤為1000美元，連續獲利9次就讓我們光榮地以九連勝遙遙領先。但隨後發生一次虧損2000美元的交易，讓我們淨利成為7000美元，這還算不太差。然後我們又贏了9次，在穩居16000美元的獲利水準時，又輸了一次，可是這次輸得很慘，賠了1萬美元，這是系統所允許的上限，我們重重地摔了下來，口袋裡只剩下6000美元），由此引入最佳的F公式，來做風險控制（同巴菲特的原理一樣，永遠不要虧損）。
3、最佳的F（風險控制問題）
合約或股票的交易數量帳戶餘額×風險百分比)/最大損失，重要的是控制了虧損的承受程度。
個人認為，凱利公式可作如下應用：
1、凱利公式不能代替選股，選股還是要按照巴菲特和費雪的方法。
2、凱利公式可以選時，即使是有投資價值的公式，也有高估和低估的時候，可以用凱利公式進行選時比較。
3、凱利公式適合非核心資產尋找短期投機機會。
4、凱利公式適合作為資產配置的考慮，對於資金管理比較有利,可以充分考慮機會成本。
簡單舉例：當房市（不要小看房市，有槓桿效應）2005年5月左右進入瘋狂期的時候（上海均價從3500上漲到12000元），股市卻在1000點低點時候，我們可以用凱利公式測算一下投入的資金。
（1）房市算法一：X＝[（R+1）×P－1]/R，P＝60%,R＝0.5,我們假設房市可以再漲50%，即到18000元，把握20%（這時候一定要考慮購買力，人均收入水平，貸款利率等,到目前還沒有到這個價位）。下跌有可能再回到50%。把握40%(後來上海房價下跌30%)。可以得出X=-20%,這麼說要從樓市裡面撤出20%資金。
（2）房市算法二：X＝[（R+1）×P－1]/R，P=60%,R=0.6,我們以同樣的把握50%計算，上漲30%到15600,下跌50%到6000元（是從3500元啟動的，還有71.43%的漲幅。），以上漲幅度除以下跌幅度得到R.得到x=－6.67%，建議你從樓市裡面撤出6.67%的資金。
（3）股市算法（只列算法二,算法一同樣）：X＝[（R+1）×P－1]/R，P=60%,上漲100%(到2000點，01年股指就不止2000點，而且中國經濟一直10%左右增長)，下跌50%到500點（96年時候到過512點，不知道96年的時候物價是多少，股指還能不能回到96年）。得出x= 90%.可以看出你要投入90%的資金到股市裡面，樓市要撤資金，股市要投資金，那麼分配方式就很明確了。那就把樓市的錢全部撤出投入到股市裡面。
關於凱利公式在巴式投資中的應用問題，比如，好不容易找到三個符合巴式風格的公司，招商銀行、萬科、五糧液，該怎麼配置資產。難道是每個買1/3。目前的時點每個公司的估值都不一樣，怎麼買，都是1/3嗎？還是尋找機會更多的投入更多的資金？
個人認為，按照凱利公式，可以考慮到每個公司的目前估值，下跌可能，上漲幅度，銀行業、房產業、白酒業未來的增長幅度大小。個人認為銀行的增長更明確，房產有分歧，白酒未來的增長好像不符合健康趨勢。再考慮一下估值問題，這個時候完全可以用凱利公式來解決這三個公司的資金分配問題。尋找到更有投資機會的公司。當然說二十年之後再看，那麼目前這些機會成本可以忽略不計，但是不要忘了複利的威力，小的機會成本會最終導致大的變化。
02月11日 11:38發表於量投網
技術乾貨| 凱利公式——倉位控制的神器長腿阿大 和訊期貨 2016-01-14
凱利公式志在解決的問題
假設賭局1:你贏的概率是60%，輸的概率是40%。贏時的淨收益率是100%，輸時的虧損率也是100%。也即，如果贏，那麼你每賭1元可以贏得1元，如果輸，則每賭1元將會輸掉1元。賭局可以進行無限次，每次下的賭注由你自己任意定。問題：假設你的初始資金是100元，那麼怎麼樣下注，即每次下注金額佔本金的百分之多少，才能使得長期收益最大？
對於這個賭局，每次下注的期望收益是下注金額的60%*1-40%*1=20%，期望收益為正。也就是說這是一個對賭客佔優的賭局，而且佔得優勢非常大。
那麼我們應該怎麼樣下注呢？
如果不進行嚴密的思考，粗略的想像一下，我們會覺得既然我每次賭的期望收益是20%，那麼為了實現長期的最大收益，我應該在每次賭博中儘量放入更多比例的本金。這個比例的最大值是100%。
但是顯然每一局賭博都放入100%的本金是不合理的，因為一旦哪一次賭博賭輸了，那麼所有的本金就會全部輸光，再也不能參加下一局，只能黯然離場。而從長期來看，賭輸一次這個事件必然發生，所以說長期來看必定破產。
所以這裡就得出了一個結論：只要一個賭局存在一下子把本金全部輸光的可能，哪怕這個可能非常的小，那麼就永遠不能滿倉。因為長期來看，小概率事件必然發生，而且在現實生活中，小概率事件發生的實際概率要遠遠的大於它的理論概率。這就是金融學中的肥尾效應。
繼續回到賭局1。
既然每次下注100%是不合理的，那麼99%怎麼樣。如果每次下注99%，不但可以保證永遠不會破產，而且運氣好的話也許能實現很大的收益。
實際情況是不是這個樣子呢？
我們先不從理論上來分析這個問題，我們可以來做個實驗。我們模擬這個賭局，並且每次下注99%，看看結果會怎麼樣。
這個模擬實驗非常的簡單，用excel就能完成。請看下圖：
如上圖，第一列表示局數。第二列為勝負，excel會按照60%的概率產生1，即60%的概率淨收益率為1，40%的概率產生-1，即40%的概率淨收益為-1。第三列為每局結束時賭客所有的資金。這個實驗每次下注倉位是99%，初始本金是100，分別用黃色和綠色標出。
大家從圖中可以看出，在進行了10局之後， 10局中贏的局數為8，比60%的概率還要大，僅僅輸了兩次。但即使是這樣，最後的資金也只剩下了2.46元，基本上算是輸光了。
當我把實驗次數加大，變成1000次、2000次、3000次……的時候，結果可想而知了，到最後手中的資金基本上是趨向於0。
既然99%也不行，那麼我們再拿其他幾個比例來試試看，看下圖：
從圖中可以看出，當把倉位逐漸降低，從99%，變成90%，80%，70%，60%的時候，同樣10局的結果就完全不一樣了。從圖中似乎可以看出隨著倉位逐漸的變小，在10局之後的資金是逐漸變大的。
大家看到這裡，就會漸漸的發現這個賭局的問題並不是那麼簡單的。就算是賭客佔優如此之大的賭局，也不是隨隨便便都能贏錢的。
那麼到底怎麼下注才能使得長期收益最大呢？
是否就像上圖所顯示的那樣，比例越小越好呢？應該不是，因為當比例變成0的時候顯然也不能賺錢。
那麼這個最優的比例到底是多少呢？
這就是著名的凱利公式所要解決的問題！
凱利公式介紹
其中f為最優的下注比例。p為贏的概率。rw是贏時的淨收益率，例如在賭局1中rw=1。rl是輸時的淨損失率，例如在賭局1中rl=1。注意此處rl>0。
根據凱利公式，可以計算出在賭局1中的最有利的下注比例是20%。
我們可以進行一下實驗，加深對這個結論的理解。
如圖，我們分別將倉位設定為10%，15%，20%，30%，40%。他們對應的列數分別是D、E、F、G、H。
當我把實驗次數變成3000次的時候，如下圖：
當我把實驗次數變成5000次的時候，如下圖：
大家從兩幅圖中可以看到F列對應的結果最大，和其它列相比壓根就不是一個數量級的。而F列對應的倉位比例正是20%。
大家看到凱利公式的威力了吧。在上面的實驗中，如果你不幸將比例選擇為40%，也就是對應H列，那麼在5000局賭博之後，你的本金雖然從100變成了22799985.75，收益巨大。但是和20%比例的結果相比，那真是相當於沒賺錢。
這就是知識的力量！
凱利公式理解
凱利公式的數學推導及其複雜，需要非常高深的數學知識，所以在這裡討論也沒有什麼意義。哎，說白了其實就是我也看不大懂。在這裡我將通過一些實驗，加深大家對凱利公式主觀上的理解。
我們再來看一個賭局。賭局2：你輸和贏的概率分別是50%，例如拋硬幣。贏的時候淨收益率為1，即rw=1，輸的時候淨損失率為0.5，即rl=0.5。也就是說當你每賭一元錢，贏的時候你能再贏1元，輸的時候你只要付出去5毛。
容易看出賭局2的期望收益是0.25，又是一個賭客存在極大優勢的賭局。
根據凱利公式，我們可以得到每局最佳的下注比例為：
也就是說每次把一半的錢拿去下注，長期來看可以得到最大的收益。
下面我要根據實驗得出平均增長率r的概念。首先來看實驗2.1，如下兩張圖：
這兩張圖都是模擬賭局2做的實驗，在第二列的勝負列中，實驗會50%的概率產生1，表示盈利100%。50%的概率產生-0.5，表示虧損50%。第三第四列分別是在倉位為100%和50%下每次賭局之後所擁有的資金。
仔細對比兩張圖可以發現結論一，亦即在經過相同次的局數之後，最後的結果只與在這些局數中贏的局數的數量和輸的局數的數量有關，而與在這些局數中贏的局和輸的局的順序無關。例如在上兩幅圖中，同樣進行了4局，同樣每幅圖中贏了兩局輸了兩局，但是第一張圖的輸贏順序是贏輸輸贏，第二張圖的輸贏順序是輸贏贏輸。它們最終的結果都是一樣的。
當然這個結論非常容易證明（乘法交換律，小學生就會），這裡就不證明了，上面舉的兩個例子足夠大家很好的理解。
那麼既然最終的結果和輸贏的順序無關，那麼我們假設賭局2如實驗2.2一樣進行下去，看下圖：
我們假設賭局的勝負是交替進行的，由於結論一，從長期來看這對結果資金沒有任何影響。
在自己觀察圖片之前我們先做一個定義。假設將某幾局賭局視為一個整體，這個整體中各種結果出現的頻率正好等於其概率，並且這個整體的局數是所有滿足條件整體當中局數最小的，那麼我們稱這個整體為一組賭局。例如在上圖的實驗中，一組賭局就代表著進行兩局賭局，其中贏一次輸一次。
仔細觀察上圖中藍色標記的數字，它們是一組賭局的結尾。你會發現這些數字是保持著穩定的增長的。當倉位是100%時，藍色標記數字的增長率是0%，即一組賭局之後本金的增長率為0%。這也解釋了當每次都滿倉下注的時候，在賭局2中長期來看是無法賺錢的。當倉位是50%（即凱利公式得出的最佳比例）時，藍色標記數字的增長率是12.5%，即一組賭局之後本金的增長率為12.5%。
這是一個普遍的規律，每組賭局之後的增長率與倉位有關。且每組賭局之後的增長率越大，那麼長期來看最終的收益也就越多。
根據每組賭局的增長率可以計算出每個賭局的平均增長率g。在上面的圖中，每組賭局之中包含兩個賭局，那麼每個賭局的平均增長率
其實這個r是可以通過公式算出來的。
從長期來看，想要讓資本得到最大的增長，其實只要讓r最大，也即讓g最大化。而最佳下注比例f其實也是通過求解max(g)的出來的。
凱利公式其他結論——關於風險
凱利傳奇（本節內容來自網際網路）
凱利公式最初為 AT&T 貝爾實驗室物理學家約翰·拉裡·凱利根據他的同僚克勞德·艾爾伍德·夏農於長途電話線雜訊上的研究所建立。凱利解決了夏農的資訊理論要如何應用於一名擁有內線消息的賭徒在賭馬時的問題。賭徒希望決定最佳的賭注金額，而他的內線消息不需完美（無雜訊），即可讓他擁有有用的優勢。凱利的公式隨後被夏農的另一名同僚愛德華·索普應用於二十一點和股票市場中。
索普利用工作之餘，通過數個月的艱苦演算，寫了一篇題為《「二十一點」優選策略》的數學論文。他利用自己的知識，一夜之間「奇襲」了內華達雷諾市所有的賭場，並成功的從二十一點賭桌上贏得了上萬美元。他還是美國華爾街量化交易對衝基金的鼻祖，70年代首創第一個量化交易對衝基金。1962年出版了他的專著《打敗莊家》，成為金融學的經典著作之一。
運用展望
如何利用凱利公式在現實生活中賺錢？那就是要去創造滿足凱利公式運用條件的「賭局」。在我看來，這個「賭局」一定是來自金融市場。
近期我一直在做交易系統的研究，對於一個優秀的交易系統來說什麼是最重要的？一個期望收益為正的買賣規則佔到重要性的10%，而一個好的資金控制方法佔到了重要性的40%，剩下的50%是操控人的心理控制力。
而凱利公式正是幫助我進行資金倉位控制的利器。
比如說之前我研究出的一個股票交易系統，該系統每周進行一次交易，每周交易成功的概率是0.8，失敗的概率是0.2。當成功的時候可以賺取3%（扣掉佣金，印花稅），每次失敗時虧損5%。在不知道凱利公式之前，我都是盲目的滿倉交易，也不知道我這個倉位設定的對不對，心理很虛。在運用凱利公式之後，計算的最佳的倉位應該是9.33，就是說如果借款利率是0的話想要得到最快的資金增長速度就要使用槓桿交易，通過公式計算得到每次交易的平均增長率r約等於7.44%，而滿倉交易的平均資金增長率為r約等於 1.35（其實也就是期望收益）。通過實驗模擬之後也發現確實槓桿交易比滿倉交易資金增長的速度要快的多。這也讓我更好的理解了為什麼很多量化投資基金公司需要使用槓桿交易。
當然凱利公式在實際的運用中不可能這麼的簡單，還有很多的困難需要克服。比如說槓桿交易所需要的資金成本，比如說現實中資金並不是無限可分的，比如說在金融市場並不像上文提到的簡單的賭局那麼簡單。
但是不管怎麼樣，凱利公式為我們指明了前進的道路。
前言
昨天轉載了一篇好文《你看到的都是招數，不是內功》，對於該文中的觀點，我深以為然，任何問題一旦理解了本質，就能事半功倍地解決，投資也是一樣。在我看來，投資的一切問題本質都是數學問題，因為投資是一個概率事件，要分析投資，數學是繞不開的，所以在昨天先做了個鋪墊，希望所有讀這篇文章的讀者不要有畏難情緒，盡力去攻克這個核心問題，因為當你理解了之後，你會發現，展現在你面前的，是一片新天地。我也會力爭做到，在保證質量不受影響的前提下，儘可能降低數學推導部分的難度，也儘量從最基礎的內容講起。
數學期望
正好前幾天有一位朋友跟我探討過投資與數學的關係，他說只要單筆投資的數學期望大於0，那麼這筆投資就是值得操作的。這個理解，基本正確，舉個簡單的例子，比如你跟別人玩拋硬幣遊戲，猜正反面，如果你猜對了你可以贏得3倍本金（不計本金的話就是淨賺2倍），如果你猜錯了你只輸投入的本金，那麼這個遊戲你玩不玩呢？我想無論是否學過數學，大家都知道這個遊戲的規則是對你有利的，那麼我們可以從數學角度驗證一下準確性。
因為硬幣正反概率各為50%，也就是說，假設你們玩無限次，硬幣正反次數各佔一半，也就說你贏一半輸一半，假設每次投入1元，那麼贏的時候賺2元，輸的時候輸1元，那麼玩下來，平均每局應該是賺0.5元，算法是2×50%-1×50%=0.5元，這就是數學期望的概念。
數學告訴我們，我們的直覺是對的，假設有這樣的投資項目，我們肯定是樂於參與的，但是，重點並不在於我們是否參與，重點在於，我們該用多少資金去參與。
很多人都說，這麼好的賺錢機會，當然投入越多越好啊！但是，正如我第一篇推送所說，任何投資都是有風險的，不能百分百保證你的投資一定穩賺不賠，就拿這個拋硬幣遊戲而言，比如你總共只有5元本金，如果你直接一次性投5元，在你運氣不好的情況下，那麼你的本金直接就虧損殆盡了，根本沒有翻盤的機會，無論這個遊戲規則對你多麼有利，你接下來都無法參與了。所以，我們要儘可能地避免這種情況產生，就要從數學角度，去探索，如何做到長期收益最大化。而凱利公式，就是解決這一問題的終極密碼。
凱利公式——投資的終極密碼
關於凱利公式的由來，我就不贅述了，有興趣的可以自行百度，既然是為了學內功來的，我們就直接進入推導環節。在此我提醒，一個公式，只有你真正經歷了自己推導的過程，你才可以深刻地理解它，因此我強烈建議，無論有多難，但凡你想要自己的投資水平能夠進步，就請跟我一起推導下去，實質上，只需要高中的導數知識，就可以看懂整個推導過程。請牢記，你對推導過程理解越深，收穫的一定也越多。
我們假設有一個投資項目，我們投入的本金佔總本金比例為f，如果投資成功，我們獲得的回報率為b，如果投資失敗，我們的虧損率為d，這裡f、b、d都是一個比例。假設初始本金為A0，第t次投資後本金為At。
在盈利的情況下：
在虧損的情況下：
假設盈利次數為W，虧損次數為L：
現在我們要解決的問題是，如果t趨向於無窮大，當f為多少時，At可以取到最大值。這個需要用到一點微積分的知識，其實單就推導過程而言，學過高中對數和導數知識的應該就可以理解。我們首先要做的是等式兩邊取自然對數（等式仍可成立）：
將等式兩邊除以t，得到：
當t趨向於無窮大時，我們假設盈利概率為p，那麼就有
（對數的係數可以作為真數的指數，對數簡單說就是你高中學的那個log，係數就是log前面的數字，真數簡單說就是log括號裡的玩意兒，指數就是多少次方，如果這樣也看不懂我就真的沒啥辦法了）
要求其最大值，只需要使其微分為0即可（簡單說就是對f求導，使導數為0），微分結果如下：
移項後：
化簡後：
可得：
這就得到了我們最終的凱利公式，也就是說我們可以根據一個項目的盈利概率、可能產生的盈利幅度和虧損幅度來確定我們應當投入的本金比例。
數學期望高於0的投資才有意義
我們可以發現，凱利公式的分子bp-(1-p)d就是這個投資項目收益的數學期望，我們可以理解為，每一個項目應該投入的本金比例為該項目收益的數學期望除以盈虧比例。如果一個項目收益的數學期望小於等於0，那麼這個項目是沒有投資的意義的，不應當投入本金，或者說這個項目根本不能稱之為投資，而是在送錢。在學習了凱利公式之後，我希望大家都能夠理解這一點，在生活中能夠識別並避免一些沒有意義的「投資」。
比如一個簡單的例子，就是彩票，彩票作為生活中的娛樂尚可，畢竟單筆投入並不大，可以就當慈善做，但如果作為投資，想以此來發財，從長遠來看，一定是不可能的，因為彩票的總獎金，一定是小於所有彩民的總投入的，期望收益必然小於0。
另一個實例就是賭博，有句話叫久賭必輸，就是因為賭博是零和博弈，數學期望為0，甚至如果算上賭場服務費之類的額外支出，數學期望是負的。有一個現象，就是參與賭博的大多數是文化程度較低，不具有理性思維的人，而在澳門開賭場的，大多數是真正的大佬，具有真正的理性思維和數學思維，比如何鴻燊，對於他們而言，根本不需要通過出老千之類的形式來賺賭徒的錢，因為，賭徒依靠的是運氣，而賭場依靠的，是嚴謹的數學定理和邏輯，賭徒大多迷信神佛，卻不知站在賭場背後的，是伯努利、泰勒、凱利這些真正的大師，和他們玩數學遊戲，你覺得勝算幾何呢？
凱利公式的實戰檢驗
雖然經過了嚴謹的數學推導，但是紙上得來終覺淺，我們還沒有通過實戰檢驗過凱利公式的科學之處，沒有一個特別直觀的感受，那麼接下來我們對凱利公式進行一個檢驗，大家也可以按照我的方法進行嘗試，放心，不需要真金白銀地投入市場，只需要用到我們平時很常用的excel軟體即可。
現在我們假設有一個投資項目，如果投資成功可以獲得25%的利潤，如果投資失敗則會造成15%的損失，這個項目的成功率大概在40%左右，那麼這個項目的數學期望是0.01，也就是說重複很多次這樣的投資後，每次平均收益為1%，這其實並不是特別好的項目或機會，但是並不影響我們的實驗，並且好的機會出現的次數一定是相對較少的，研究相對較差的機會，更有現實意義。
我們可以使用rand函數先產生一列0到1之間的隨機數，然後再用if函數判斷隨機數的值，若隨機數的值大於0.6（概率為40%），則為投資成功，獲得25%的利潤，反之則為投資失敗，虧損15%，以此來模擬這個項目。
假設初始本金為100萬，根據凱利公式，合理的投資倉位是，我們設置了三組對照組，一組是10%倉位的保守組，一組是50%倉位的穩健組，還有一組是90%倉位的激進組。我們可以來看一下這幾組的收益情況。
在投資次數較少的情況下，四組數據的差別並不大，而且我們可以發現，由於激進組倉位較高，在幾次「市場行情」較好的情況下，激進組的收益相對較為優秀。
然而，投資是一場馬拉松，不在乎誰起跑快，而是看誰笑到最後，我們直接跳到第250次以後的投資結果。我們可以發現，凱利公式組開始顯示出了它的優勢，而倉位很高的激進組已經產生了巨額的虧損。
而如果我們直接跳到1000次以後，就會發現，凱利公式組已經明顯優於這幾組對照組了，激進組幾乎虧光了所有的本金，而穩健組也產生了很大比例的虧損，保守組雖然是有較大的盈利，但是卻比凱利公式組的盈利程度低了很多。
這裡面的原理就在於，本次投資機會並不是一個非常好的機會，因此，倉位過高的投資者會首先出局，甚至半倉投資者也會在重複多次這種投資後遭受虧損，保守組由於跟凱利公式組的倉位控制相對更為接近，所以相對於穩健組和激進組的投資結果更佳，實現了不錯的收益。而神奇的凱利公式卻讓我們在這種並不是很好的機會中實現了長期的穩定增長，通過實戰檢驗，我們可以證明凱利公式的正確性，同時，凱利公式也給了我們很多的啟示。
凱利公式的指導意義
有些讀者可能會有疑問，因為我們的市場是不斷變化的，每次投資的成功率和盈虧比例也難以事先知曉，那麼我們學習凱利公式意義何在呢？不知大家是否記得，上一篇轉載的文章中提到：你想走捷徑，想從最近的路登上山頂，但當你從山下出發時，根本不知道哪條路最短。你看上去最短的那條路可能只是第一段比較短，再往後就非常繞了。
基本面和技術分析的重要性
但是，如果說，直接給你一個航拍俯瞰圖呢？你是否就可以非常輕鬆地直接找出那條最短的路呢？凱利公式的指導意義就在於此，我們投資的結果主要由投資成功率、盈虧比例、資金倉位決定，這其中，我們自己最能夠控制的就是資金倉位，而合理的倉位又是由投資成功率和盈虧比例決定的，那麼也就是告訴我們，只要我們能夠知曉投資成功率和相應的盈虧比例，那麼就能夠利用凱利公式做出最正確的投資決策。
而知曉投資成功率和相應的盈虧比例的關鍵，就在於基本面分析和技術分析，凱利公式為我們的基本面和技術分析指引了方向和研究的目的，就是要計算出單次投資的成功率和相應的盈虧比例，雖然難以做到百分百精確，但分析能力越強，其結果就越精確，那麼我們的投資也就能夠更好地運用凱利公式實現長期穩定增長。
倉位控制的重要性
凱利公式給我們另一個重要啟示是，無論做什麼投資，都是與風險和不確定性相伴而行的，無論是多麼強大的技術分析，都會有一定的失敗概率，一個人無論擁有如何強大的技術分析能力，不懂凱利公式，此人的投資就不算入門，因為，技術分析能讓你成功一千次，但可能一次的失敗，就能讓你直接歸零。
正是因為有不確定性的存在，凱利公式告訴我們要根據實際情況控制好投資的比例（即倉位控制），在風險較高，不確定性較大時壓低倉位，在機會較好時提高倉位，本次實驗做的是靜態測試，投資項目的盈虧比例和成功率是一直不變的，如果讀者有興趣，可以自行按照我的思路去設計一個動態的實驗，如果我們的投資倉位根據市場的形勢不斷地調整，相信凱利公式會更好地發揮作用。
止損的重要性
細心的讀者可能會發現，在同樣的成功率和盈虧率的情況下，假設我們能夠控制虧損的比例，那麼是否就能實現更高的期望收益呢？是否也就能實現更好的投資結果？答案是肯定的，因為我們可以止損。通過止損，我們可以控制風險回撤的比例，當然，止損涉及到投資失敗的確認條件，因為並不是一時的波動就能證明當初的投資判斷是錯的，這也是技術分析的一部分，設置合理的止損點，能夠提高我們的期望收益，也更有利於實現更好的投資結果。
投資需要科學和自律
在實驗中，我們還能夠發現，其實凱利公式並非一路都能高歌猛進，戰勝所有對手的收益，甚至在投資次數到達近80次時，凱利公式的收益依然時常大幅跑輸穩健組和激進組。
其實，真正難的並不是學會正確的投資方式，而是堅持正確的投資方式。很多做過股票的朋友，也應該清楚，很多時候，明明知道自己不該滿倉博收益，但是在牛市中，如果看到他人的帳戶收益一直高於自己，那麼這個時候，你的內心是否會動搖呢？
所以，投資不僅需要科學，更需要自律，凱利公式是大數法則下的結果，只有當樣本足夠大時，才能真正體現出它的價值，知易行難，比科學知識本身更重要的，是自律，是相信科學並能持之以恆地堅持科學的方式。
請記住，投資是一場馬拉松，誰起跑快並不重要，重要的是誰的耐力最好。
1分鐘get技能：看懂投資神器——凱利公式，一生多賺幾百萬楊放220 2月19日
賭局假設：
假設有這樣一個賭局，你贏的概率p是40%（當然輸的概率就是q=1-p=60%），贏後的淨賠率b是2（即你投1元錢，贏後不僅能拿回本金1元，還能獲得2元錢的額外收益；淨賠率=賠率-1），輸了失去全部本金。
賭局玩法：
假設這個賭局可不斷的重複玩下去，你每次都壓手上全部資金的f（0<f≤1）比例押到下一局中。
問題來了：
請問，如果你手裡的本金是10萬元，這個f應該為多少，才能使得你在玩過多次賭局後，手裡資金增長最快？
如果你不知道答案，請往下看。
1.Excel投資模擬器針對上述問題，我用Excel做了一個投資模擬器的模型，如圖：
圖1：對賭局驗證的Excel模型
A列為玩賭局的局數。B列為輸贏概率區，用Excel的隨機函數RAND，按40%概率出「1」，表示賭局「贏」；按60%概率出「-1」，表示賭局「輸」。C到G列為投注區，表示每次分別拿出手上全部資金比例的5%、10%、20%、50%和100%，投注到下一次的賭局中。
圖2：玩500局之後資金情況
圖2是你玩500局之後，手上資金的情況。可以看出，當f=10%的時候，手裡資金增長最快，達到了2200多萬；高於f=5%時的528萬，f=20%時的43萬，f=50%時的0，f=100%時的0。
2.凱利公式在人的一生中，可能會經歷多次這樣的賭局（或者叫投資），同樣的起點（本金都是10萬），不同的結局。怎樣確定最適合的下注比例，確保自己的資金增長的最快？
事實上，在62年前，就有一位名叫約翰·拉裡·凱利的物理學家研究過類似問題，並給出了一個著名的凱利公式（對凱利公式的介紹可以自行百度）：
f=（pb-q)/b其中，f為現有資金應進行下次投注的比例；p為贏的概率，q為輸的概率，b為淨賠率。
回到本文開頭的賭局中，贏的概率p=40%，輸的概率q=60%，淨賠率b=2。根據凱利公式，可以計算出，使得資金增長最大化的f的值，
f=（pb-q)/b=（40%*2-60%）/2=10%與我們通過上面Excel投資模擬器得出的結論一致。
再舉一例：文章1分鐘get技能：原來如此！莊家通過這個數學公式，幹著只賺不賠的生意的柯潔對戰AlphaGo的例子，柯潔贏的概率是8.49%，輸的概率是91.51%；柯潔勝的賠率是11，淨賠率=賠率 -1=10。根據凱利公式，可以計算出，使得資金增長最大化的f 的值，
f=（pb-q)/b=（8.49%*10-91.51%）/10= - 6.61%f小於0，表示沒有合適的投注比例，意味著這個賭局不值得參與。
3*.凱利公式的詳細推導（涉及高等數學知識，可跳過不讀）總結（1）凱利公式的表達式為 f=（pb-q)/b，作用是用來計算是投資收益增長最快的投注比例。
（2）凱利公式應用場景是，只適用於牌桌賭博（及類似賭博的競猜等），即輸贏有一定的概率，輸的情況下本金全部虧光。
（3）淨賠率和賠率的關係是，淨賠率=賠率-1，查看賠率的定義與運用，請查看文章1分鐘get技能：如果你不懂概率、賠率和返還率，莊家遲早讓你輸成窮光蛋！
凱利公式帶給我們投資啟發
以上凱利公式主要用來衡量在出現什麼樣的機會時該下多大的賭注才能利益最大化。當然，凱利公式不能直接生搬硬套用於股市操作，否則人人都是股神了，因為一個基本前提就是無論多麼精準的數學模型也不能可計算出任何一支股票上漲的概率以及上漲和下跌的空間，此公式在股市的應用價值主要是提供了以下三種啟發:（一）對選股的啟發在凱利公式中，最關鍵的有兩個要素，即概率與賠率。他們之間的概念和區別是：
概率：指一個事件發生的可能性；
賠率：指事件發生後預期盈利與可能虧損的比值，即期望的盈利/可能的虧損。那麼我們要做的就是在幾千隻股票中儘量選出那些大概率和高賠率的標的。
在市場中可能有一下兩種情況存在：
其一：一個有廣闊發展前景的公司，在現階段尚未被市場充分看好；
其二：市場對一個暫時陷入困境的公司過分悲觀，從而給出了特別低的估值。
第一種情況的難點在於要對企業盈利前景有充分的前瞻性和洞察力，賺的是：「站得高、看得遠的錢」；第二種情況難點在於市場普遍不看好的情況下要有充分的信心和足夠的耐心，賺的是：「選得準、持的久的錢」。
本人認為，對概率和賠率的理解還在於價值和價格的把握，高價值、低估值的標的必然對應著高上漲概率和高的回報彈性，其中價值在於公司本身特質，估值在於市場定價。哲學的世界觀上稱之為物質（價值）與意識（估值）的辯證關係，物質決定意識，意識是物質的反映。意識對物質具有能動作用，正確的意識會促進客觀事物的發展，錯誤的意識會阻礙客觀事物的發展。方法論上稱之為客觀（價值）與主觀（估值）的關係，我們要做到一切從實際出發，使主觀符合客觀，做到主觀和客觀具體的歷史的統一。當估值與價值有偏差的時候就存在預期差，能夠把握這種預期差就能轉化為盈利能力。
（二）對持股數量的啟發
比較極端的例子是某投資者從來只操作一支股票或者同時操作幾十隻股票。馬克塞勒爾在哈佛商學院談到過分分散的情況：「根據凱利公式，計算結果顯示可以將20%的倉位放在一支股票上，很多投資者只放2%，即使這隻股票上漲100%，也只能給你帶來2%的收益，還不如拿著錢存銀行利息還高一些。」與之相對的是過分集中，如果從來只操作一支股票，假設99%情況你都預料到了，但1%毀滅性的可能性你沒預料到並且發生了，那資產很有可能面臨99%的縮水比例。有研究表明，持有兩隻股票時可以消除僅持有一支股票42%的非市場風險，持有4支時可以減少風險68%。個人建議在100萬資本的範圍內，3股票就好；在1000萬資本的範圍內，持有3-5支就好。
（三）對操作頻率的啟發
對於大多數投資者而言，操作頻率不宜過高。從人性弱點角度考慮，操作太頻繁必然高度關注，一旦高度關注就容易被帶了節奏。被帶節奏的因素有很多，大盤起伏、股市情緒、板塊聯動、機構買賣、消息刺激等等，方方面面的因素都有可能讓你做出不理智的操作，就這樣深思熟慮三個月的成功決策可能就因為30秒的新聞聯播讓你前功盡棄。從數學的角度考慮，假設一個人能夠做出成功操作的概率是70%，如果連續操作三次，成功的概率將下降到34.3%。頻繁決策的後果其實就相當於把投資行為變成了拋硬幣。
賭王何鴻燊接手葡京賭場時，業務蒸蒸日上，但理性的賭王仍然忐忑，請教「賭神」葉漢：「如果這些賭客總是輸，長此以往，他們不來了怎麼辦？」葉漢笑道：「一次賭徒，一世賭徒，他們擔心的是賭場不在怎麼辦。」
葉漢說的只是心理層面，現代賭場程序方面的設計，比葉漢當年要縝密得多，賭場集中了概率、級數、極限方面的數學經驗。一個普通賭徒，只要長久賭下去，最終一定會血本無歸，所謂的各種致勝絕技，除了電影裡的周星星，現實裡的周星馳都不信。
賭徒永遠不明白，與自己對賭的不是運氣，也不是莊家，他們是在與狄利克雷、伯努利、高斯、納什、凱利這樣的大師對決數學，贏的勝率能有多大？
看得到的是概率
看不見的是陷阱
我們先說一個最簡單的賭博遊戲：賭運氣猜硬幣。
規則是這樣的，擲硬幣，正面贏反面輸，贏了可以拿走一倍的錢，輸了會賠掉本金，你玩不玩？你可能覺得，唉，這遊戲不錯，公平！恰好運氣也不錯，第一把贏了100元！你高興壞了，這時候莊家跟你說，你看你也贏了這麼多，我呢，辛辛苦苦搭個場子，最後什麼都沒撈著，要不這樣，你贏了，就給我留下2％，就算是救濟救濟老哥，給捧捧場！你一聽，2％，才這麼點，拿去吧，不差錢！好了，這事就這麼定下來了。
然而你做夢都想不到的是：就是這小小的2％，最後卻讓你輸得傾家蕩產、家破人亡。
這小小的2個點的贏的概率貌似不起眼，但配上「大數法則」，就成為了賭場賺錢的利器！「大數法則」是數學家伯努利提出來的，說的是假設n(a)是n次獨立重複實驗中發生a的次數，p是每次實驗發生a的概率，當n足夠大的時候，對任意正數ε，有lim{[|(n(a)/n)| p]<ε}=1，公式這麼複雜，99%的賭徒都看不懂，看不懂沒關係，我們只看結果，最終莊家贏到的錢=0.02*a。
莊家賺的錢最終只跟玩家下注大小有關！這也就是我們常說的「流水」，只要玩家不停地玩，莊家就會不停地賺！而不管玩家是輸是贏，莊家始終是贏的！為什麼賭場有「最小投注額」，因為擴大「流水」才能將利潤最大化！
所以別以為自己有多聰明，你要慶幸自己玩得不夠久而已，十賭九輸正源於此。
只要進了賭場
你就是一個窮鬼
我們再進一步，就算雙方的概率均等，你仍然是一個輸家，這裡涉及到「無限財富」和「賭徒輸光定律」，這個定理在現實生活中有許多應用，如「姓氏消亡」「線粒體夏娃假說」，在概率均等的情況下，誰的資本大，誰的贏率高。
你和我對賭，你我各有5塊錢，輸光為止。那麼你贏的概率是50%，輸的概率也是50%。
你和我對賭，你有5塊錢，我有10塊錢，輸光為止，那麼你贏的概率就只有33.3%，而輸的概率有66.7%（這裡涉及到高斯的概率論和泰勒的級數論），後面隱藏的就是賭場大BOSS凱利公式，後面小節裡將詳加表述。
對於小散戶，賭場一般可以認為財富是無限多的，你贏不垮它，它卻能吃了你。在賭場老闆的眼裡，世界只有兩種人：一種現在是窮鬼，一種未來是窮鬼。
「無限財富定律」也解釋了賭場設置最大投注額原因。不是老闆好心保護賭徒免遭破產，只是老闆為了保護自己設置的安全屏障，想像下萬一哪天比爾蓋茨去賭場找樂子，一次性砸個幾百億進去，那賭場老闆真的要哭了，雖然這種事情不太可能發生，但也不能不防，所以賭場根據自己的財富能力設計最高投注額，也就是為了抵抗「無限財富定理」！
賭場大BOSS凱利公式：
先告訴你怎麼下注
凱利公式在高級賭徒的世界裡大名鼎鼎，那什麼是凱利公式，我們先看一個例子：
有一個簡單2賠1的賭局，扔硬幣下注，硬幣為正面則得2元，如果為反面則輸掉1元，你的總資產為100元，每一次的押注都可投入任意金額。
你會怎麼賭呢？
如果你是冒險主義者，你可能會想，要玩就玩票大的，一次性把100元全壓上，幸運的話，一次正面就可以獲得200元，又是一段值得炫耀的賭史；可是，如果輸了得把100元資產拱手獻給對方，你就一無所有，好不容易來趟拉斯維加斯，這肯定不是明策。
如果你是保守主義者，你可以會想，謹慎點，百分之一慢慢來。你每次只下注1元，正面贏2元，反面輸1元。玩了20把突然覺得，對方下注10元一次就贏得20元，自己一次才贏2元、10次才能贏得20元，後悔已經錯過幾個億！
100太多1塊太少，該投入多少比例下注？普通賭徒看似無解，但凱利公式告訴你答案是25%！
讓我們來看看凱利公式的廬山真面目：
f* =（bp-q）/ b
在公式中，各參數意義為：
f* = 應投注的資本比值
p = 獲勝的概率（也就是拋硬幣正面的概率）
q = 失敗的概率，即1 - p（也就是硬幣反面的概率）
b = 賠率，等於期望盈利 ÷可能虧損（也就是盈虧比）
公式上面的分子bp-q代表「贏面」，數學中叫「期望值」。
什麼才是不多不少的合適賭注呢？凱利告訴我們要通過選擇最佳投注比例，才能長期獲得最高盈利。回到前面提到的例子中，硬幣拋出正反面的概率都是50%，所以p、q獲勝失敗的概率都為0.5，而賠率＝期望盈利÷可能虧損=2元盈利÷1元虧損，賠率就是2，我們要求的答案是f，也就是(bp - q) ÷ b = (2 * 50% - 50%) ÷ 2 = 25%。
拿出資金的25%來進行下注，才能使賭局收益最大化。
賭場操盤者的每一次下注的時候，都會謹記數學原則，而作為普通賭徒，除了心中默念「菩薩保佑」外，哪裡知道這後面的數理知識。
所以，就算你贏得了財神爺的支持，但你也永遠贏不了「凱利公式」。
除了100%贏
任何時候都不應下注
所有的賭場遊戲，幾乎都是對賭徒不公平的遊戲。
但這種不公平並非是莊家出老千，現代賭場光明正大地依靠數學規則賺取利潤，從某種意義上來講，賭場是最透明公開的場所，如果不是這樣，進出賭場不知有多少狂命之徒，何鴻燊早怕九條命都不夠。
凱利公式不是憑空設想出來的，這個數學模型已經在華爾街得到驗證，除了在賭場被奉為正神，也被稱為「資金管理神器」，是比爾格羅斯等投資大佬的心頭之愛，巴菲特依靠這個公式也賺了不少銀子。回歸到賭場討論這個公式，根據f = (bp-q) / b公式結論，期望值(bp-q)為負時，賭徒不具備任何優勢，也不應下任何賭注。這種賭博遊戲，要下負賭注，也就是說你不如自己開個賭場當莊家。
的確，世界上有為數不多的「賭神」，他們當中有資訊理論的發明者香農，數學家愛德華·索普，路徑理論的創始人蒙特卡羅等，他們通過一系列複雜的計算和艱深的數學理論，把某些賭戲的贏率扳回到50％以上，例如21點靠強大的心算能力可以把概率拉上去。但就憑你讀書時上課打瞌睡輸了只知道倍投翻本的可憐知識，以及九九乘法表的那點算力，還是先老實讀完以下3條準則。
1、期望值（bp-q）為0時，賭局為公平遊戲，這時不應下任何賭注。
2、期望值（bp-q）為負時，賭徒不具備任何優勢，也不應下任何賭注。
3、期望值（bp-q）為正時，這時按照凱利公式投注賺錢最快，風險最小。
其實最終結論只有一個：除了100%贏，任何時候都不應下全部賭注，即使贏的概率高達99.9%。
結語
贏得勝利的唯一法則：不賭
沒有誰能說服一個墮落的賭徒，因為這是人格的缺陷。
但如果你還是一個具有理性精神的人，別再迷戀所謂的運氣。
賭徒能夠依靠的是祖宗保佑，而賭場後面的大佬是高斯、凱利、伯努利這樣的大神。
你怎麼可能贏得了莊家？
論理性，沒有人能比賭場老闆更理性。
論數學，沒有人能比賭場老闆請的專家更精通數學。
論賭本，沒有人能比賭場老闆的本錢更多。
如果你想真正贏得這場賭局，法則只有一個：不賭。