比例推理在數學乃至很多學科領域中都具有非常重要的作用。
傳統的皮亞傑理論認為，兒童在形式運算階段之前不能進行比例推理。直至到十一二歲進入形式運算階段，即可以在頭腦中將形式和內容分開，可以離開具體事物，根據假設來進行邏輯推演，才能夠進行比例推理。
但是近年來一些新的研究結果卻推翻了這種觀點。那麼究竟兒童在十一二歲之前能進行比例推理嗎？
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本文選自「《新世紀小學數學》（2015- 6 期）」，作者「康武、李月月」
比的概念包含正比、反比和比例三個部分。兩數相除叫這兩個數的比，例如：長方形的長是 6，寬是 4，長和寬的比是 6︰4。
比是由一個前項和一個後項組成的除法算式，除法算式表示的是一種運算，而比則表示兩個數的關係。
表示兩個相等比值的比的算式叫比例，如 A︰B＝C︰D。所謂比例推理能力，簡而言之就是比較不同比的能力。
比例信息在很多知識領域都會有所涉及，例如百分比、溫度、密度、濃度、化學成分、速度及經濟價值等。
比例在數學學習中也是非常重要的，恩普森就認為比例是有理數運算的基礎，也是代數學和幾何問題解決的基礎。美國學者克萊默認為，比例推理對數學思維的培養也是非常重要的。
關於比例推理的發展年齡，傳統的觀點來源於皮亞傑和英海爾德。
根據皮亞傑的理論，比例推理意味著能夠理解「有理數之間的關係」，這是形式運算的一個重要標誌。而十一二歲之前的兒童不能理解這種關係，因此這種觀點認為十一二歲前的兒童不能進行比例推理。
很多研究也支持了這種傳統的皮亞傑理論。
例如，諾爾丁在 1980 年給 6～16 歲的兒童呈現兩個比例，每個比例都是由橙汁和水構成，讓被試判斷哪個比例的橙汁濃度更大。結果發現，與傳統的理論一致，12 歲以下的兒童不能進行正確的判斷。
隨著對比例推理的進一步研究，新近發現兒童對「比例推理」的理解並不是「全或無」，而是從部分到比較完整、從較多地依賴情境到較少地依賴情境發展的過程，強調兒童早期的直覺策略在數學學習中的價值。
此外，早期的直覺策略可能在形式運算出現後繼續影響我們的數學能力。因此，這種觀點認為兒童在形式運算階段之前是可以通過直覺進行比例推理的。
有一些研究表明兒童在五六歲時就可以完成經過稍微修改的比例推理問題。波伊爾等人在 2008 年通過梳理這些研究發現，這些研究的結果可以通過一條主線來解釋：
發展較早的研究給被試呈現比例時大多是用離散數據（如表示比例的圖是由相同大小的小格子組成的），而發展較晚的研究給被試呈現比例時大多是用連續數據（表示比例的圖沒有可以計數的小格子，而是一個連續體）。
於是波伊爾等人深入探討呈現比例時的數據類型（離散和連續）是否會影響兒童的比例推理。
波伊爾設計了較為精巧的實驗，選擇幼兒園，1、2、3、4 年級的兒童為被試（年齡都低於 11 歲），要求兒童選擇與目標比例（果汁在總體中的比例）相同的比例。
在實驗中，泰迪熊會出現在計算機屏幕的左上角，一個由帶有顏色的果汁和淺藍色的水的混合目標比例欄出現在泰迪熊的下面，這個目標比例符合泰迪熊的口味。
兩個可供選擇的比例欄出現在屏幕右邊三分之二的位置，要求被試根據左邊泰迪熊的目標混合比例，判斷右邊的兩個比例哪個才符合泰迪熊的口味。（如下圖，分別為離散和連續情境）
「圖一」離散：每種顏色都是由一個個同樣大小的小格子構成的；
「圖二」連續：每種顏色是由一個連續體構成的。
實驗結果顯示，兒童在連續情境下的比例推理的正確率顯著高於離散情境下，這表明 11 歲之前的兒童可以進行比例推理，只是會受到呈現比例的數據類型的影響。
如果呈現比例時所用的是連續變量，那麼小學低年級也能很好地進行比例推理，因為這時兒童沒辦法去通過計數來進行匹配，只能憑直覺去進行判斷；但是如果是離散變量，兒童會傾向於使用錯誤的計數策略，導致比例推理的錯誤率很高。
「如圖一中的目標比例為 1／4，不理解比例的兒童通過計數很可能會選擇後面的 3／4，因為兩者中都有 4，而不會選擇正確的 3／12。」
那麼 11 歲之前的兒童能進行比例推理嗎？答案是肯定的，此階段的兒童可能並不能利用形式運算進行比例推理，但是他們可以依靠直覺判斷進行比例推理。
因此，針對還沒達到形式運算的兒童，我們應該採取相應的教學策略，去引導他們利用直覺去進行比例推理。主要從以下兩個方面提出具體的建議：
01. 進行比例推理教學時呈現具體的情境
前面的新近觀點已經提及兒童的數學理解是從較多依賴於情境慢慢向較少依賴於情境發展。
對於小學兒童而言，他們的思維發展還沒有到達抽象階段，因此會比較多地依賴於具體情境。所以，在進行比例的教學時，建議教師可以利用一些實物去引導學生認識比例。
比如，可以用兩種顏色不同的小木棒組成比，不斷改變其中一種顏色木棒的數量，讓學生嘗試去改變另一種顏色的木棒，使兩種顏色木棒的比與之前的相等。
學生在嘗試中會慢慢體會到，比例表示兩個變量之間的一種關係，其中一個比變化，另一個比也會發生變化。
02. 引導低年級兒童利用直覺策略進行比例推理
直覺是不經過邏輯的、有意識的推理而識別或了解事物的能力。
前面的研究表明，在連續變量情境下，兒童沒辦法利用計數策略而傾向於使用直覺策略，這時兒童的比例推理的正確率反而會提高。
然而在離散變量情境下，兒童傾向於使用計數策略，但由於他們還沒到達形式運算階段，所以不能正確使用計數策略，往往只能顧及分母或者分子中的一個，因此表現出錯誤的比例推理。
因此，在實際教學中，對於還沒達到形式運算階段的低年級兒童可以引導他們利用直覺策略進行比例推理。
比如，像實驗中那樣呈現一些沒辦法去計數的連續數量的比例，這時學生就只能利用他們的直覺能力去進行比例推理。
參考文獻
Boyer, T.W.，Levine，S.C.，& Huttenlocher，J.（2008）. Development of proportionalreasoning：Where young children go wrong.Developmental Psychology，44，1478–1490.
Jeong，Y.，Levine，S.，& Huttenlocher，J.（2007）.The development of proportional reasoning：Effect of continuous vs.discrete quantities.Journal of Cognition and Development，8，237–256.
康武、李月月︱深圳大學心理與社會學院
審校︱任景業
編輯︱陳 昆
來源 《新世紀小學數學》2015年第6期
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