數學的奧秘:萊布尼茲級數的連分式是什麼,你見過嗎?

2020-12-17 電子通信和數學

有關π的連分式我們根據一般方法很容易就可以寫出來，它像√2一樣的簡單

這個式子我們可以聯想到萊布尼茲級數π/4，那麼π/4的連分式是什麼樣式的呢

你會發現許多能寫出連分式的數必定大於1，也就是分子大於分母，這樣連分式的首位始終有一個整數，那麼對於萊布尼茲級數π/4的連分式明顯是4/π轉換而來，

今天我們要做的就是用萊布尼茲級數得到4/π的連分式，這不同於上述一般純計算的方法，這需要一定的數學技巧，它會得到和一般方法相同的結果

首先我們將4/π作一個輕微的轉換，減去1，這樣我們就可以帶入萊布尼茲級數了

所以左邊就是如下樣式

我們帶入萊布尼茲級數

上述的等號左邊就等於

上述的式子我們很難繼續下去，所以需要一定的數學技巧，我們引入如下紅色和藍色部分的式子

我們由此得到了如下更為容易計算的結論

分子分母同時除以分子

就得到第一個連分式的項

你會發現這個連分式和我們開始的時的分式很像，只不過去除了各自的首項1和1/3，

這就告訴我們，可以引用上面同樣的原理進行轉換，在此我們引入3/3

由此得到了如下的式子，

由此分式中的兩個無窮級數就變成了我們文章開頭的樣子，式子也變得更加簡單

同樣引入紅色和藍色部分的級數形式

提出公因子2和5

約去級數1/5-1/7+1/9.......

我們繼續同樣的步驟

就得到4/π的連分式形式，這和開篇中用一般的純計算方法是一樣的

4/π的的倒數就是萊布尼茲級數π/4的連分式

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