直角三角形理論應用

2021-02-19 臨沂粉筆

一、歷年考情

幾何類題型在國考和聯考數量關係中屬於必考題型，由於幾何的知識點比較多，考察的題型變化形式多樣，今天，我們就幾何中一個重要的知識點，直角三角形做具體的講解。

二、直角三角形性質

直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。（勾股定理）

斜邊的中線等於斜邊的一半（斜邊中點到三個頂點距離相等）

三角形外接圓的圓心為斜邊中點

A+B=90°

sinA=角A的對邊 / 斜邊

cosA=角A的鄰邊 / 斜邊

tanA=角A的對邊 / 角A的鄰邊

cotA=角A的鄰邊 / 角A的對邊

推論：sin30°=cos60°=1/2，sin45°=cos45°= √2/2，sin60°=cos30°=√3/2

      tan30°=cot60°=√3/3，tan45°=cot45°=1，tan60°=cot30°=√3

三、真題分析

    【例1】人行道ABC，BC長286cm，D為BC中點。AD直線距離為324cm，過B點做直線BE，過C點做垂線與BE交於E點，問AE最小距離為多少？

 

A. 38cm   B. 168cm

C. 176cm  D. 181cm

【解析】直角三角形BCE的E點位置不確定，但由於直角三角形內接於圓，因此我們畫圖如下：BC為外接圓的直徑，D為斜邊中點，即為圓心。連接AE和DE，DE為半徑，因此DE=286/2=143。由於DE為固定值，因此AE+DE最短時，AE最短。根據「兩點之間直線最短」，所以，AED位於同一直線時，AE+DE最短=AD=324，所以AE=324-143=181。答案選D。

 

【例2】某次軍事演習中，一架無人機停在空中對三個地面目標點進行偵察。已知三個目標點在地面上的連線為直角三角形，兩個點之間的最遠距離為600米。問無人機與三個點同時保持500米距離時，其飛行高度為多少米？

A. 500 B. 600

C. 300 D. 400

【解析】根據「三個目標點在地面上的連線為直角三角形，兩個點之間的最遠距離為600米」可知，直角三角形斜邊長度為600米，直角位置不確定，因此我們可以把直角三角形內切於圓。由於「斜邊中點到三個頂點距離相等」，因此飛機在地面的投影一定位於斜邊中點即圓心上。如下圖：O點為圓心，即飛機P的投影，因此PO垂直地面，三角形AOP為直角三角形，∠O=90°。直角三角形ABC，∠C=90°，AB=600，因此AO=300，AP=500，求PO=400。答案選D。

 

小結：例1和例2兩題的直角三角形，直角位置都不確定，因此我們把直角三角形內接於圓。利用「斜邊中點到三個頂點距離相等，三角形外接圓的圓心為斜邊中點」這兩個性質，運算求解。

【例3】某水庫決定對堤壩進行處理。如右圖所示，水庫大巴的迎水面的坡角為，壩高為10米。現要加高大壩，使坡度為1：1（坡度坡角的正切值），那麼大壩要加高多少米？

 

A. 10cota-10 B. 10tana-10

C. 10tana     D. 10cota

【解析】水庫加高后如下圖所示：DC=DB-BC=DB-10，因此我們需要根據∠a求DB。由於DB和∠a沒有直接的聯繫，但加高后坡度為1：1，所以AB=DB。且tana=BC/AB=10/AB或cota=AB/BC=AB/10，得到AB=DB=10cota=10/tana。因此DC=10cota-10，答案選A。

 

小結：本題利用直角三角形正切和餘切的公式進行求解。注意分清。

粉筆陳昱凝

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