數學速遞 | 為什麼「0不能作為除數」?

2021-02-13 新世紀小學數學


在某間教室裡

某一天，學生提出了一個問題。

對這名提出問題的學生，我決定為他做一番全面細緻的解說，因為他一定是鼓足了勇氣才決定向老師提問的。

謝謝你提出了這個很好的問題。為什麼平常有想法，卻不來向老師提問呢？不用擔心被認為這太奇怪了，沒有這回事。你的疑問是經過非常認真的思考的，這是一個很重要的問題。

好啦，快把耳朵湊過來慢慢傾聽老師的說明吧。首先呢，讓我們從再度思考何為除法這個問題出發。請看下面方框中的公式：

除法中「暗藏乘法」

所謂除法的計算，是「求某個數是其他數的幾倍的計算」。也就是說，我們可以認為最早先有了乘法。例如6÷2是在求「6是2的幾倍」。最開始有了「將2擴大3倍即得6」的概念。這樣一來，我們就能斷定除法和乘法是相對應起來的。

下面讓我們來看看，用0作為除數的除法吧。例如，「3÷0=？」即在計算「3是0的幾倍」。用乘法的算式表示出來就是「0×？=3」。

即「0×？=3」→「3÷0=？」

好啦，讓我們看一看這個算式，試著想一想「？」處究竟應該填入什麼樣的數字呢？0究竟該乘以什麼才能變成3？那樣的數字是不存在的。是的，「3÷0」的答案是「不存在」。

◑

下面還有一個問題，是有關用0來除以0的除法計算的。「0÷0」，讓我們像之前一樣用乘法的算式來探究一番吧。

「（乘法算式）」→「0÷0=？」

「（乘法算式）」處應填入的是「0×？=0」。

那麼「？」處應填入一個最適合的數字吧？

0×0=0

0×1=0

0×2=0

0×3=0

…

…

…

能看出「？」處無論填什麼數字都能成立呢。因此，

0÷0=0

0÷0=1

0÷0=2

0÷0=3

最後就變成了這個樣子。這便意味著「0÷0」的答案有無數個。

「6÷3」是「2」，正因為答案只有唯一一個，它作為除法才有了意義。這並不僅限於除法當中，可以說所有的計算都是如此。

「3+5」，「6-4」，「8-3」中不管哪一個的答案都只有一個。然而「a÷0」的計算答案並不是唯一的。這正是「0不能作為除數」的原因。

這種現象在數學中被稱為「無法定義的計算（演算）」，表示為下面方框中的內容：

「a÷0」是無法被定義的

對於「無法定義的計算」，可能至今為止我們都未曾聽過。這是理所當然的事，因為我們從小學開始學習的計算全都是能夠定義的計算。

我們在學習的數學中，都省略掉了下面這句話——

從現在開始大家所挑戰的計算，都是能夠被準確定義的。所以，只有安心計算就行了喲。

「用0作為除數的計算」是將這句話當中未提及的前提告知大家的絕佳方式。因此，「為什麼0不能作為除數」這個問題是非常重要的。

來源 《超有趣的讓人睡不著的數學》

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