兩等腰直角，不能構成手拉手，我們有多種方法轉化（1）#學浪計劃

2020-08-29 真會學數學杜老師

平面幾何最難的就是作輔助線了，一個個漂亮的證明真的叫人賞心悅目，嘆為觀止。但是在拍案叫絕之餘，很多學生甚至我們老師都會問：這樣的輔助線你是怎麼想到的？

下面我們就通過對一道難題的解法探討，來和大家聊聊如何添加輔助線。

例題：已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，在△DBE中，∠EDB＝90°，DE=DB，點F是AE的中點。寫出線段FD與線段FC的關係並給出證明。

審題：此題有一個中點，還有兩個等腰直角三角形，且他們含有一個公共頂點，讓我們自然聯想到手拉手模型。但由於對應關係不對，構成的卻不是手拉手模型。那麼我們如何將其轉化成手拉手模型，就成了解決這道題的關鍵！

思路1：將⊿ABC與⊿BDE補成兩個更大的等腰直角三角形，且點B為直角頂點，此時手拉手模型構造成功。

解法1：延長AC到G，使CG=CB，連接BG。延長ED到H，使DH=DB，連接BH。顯然⊿BAG和⊿BEH都是等腰直角三角形， 且具有公共的頂角頂點B。這樣⊿BEG與⊿BHA就必定全等，而且是繞點B旋轉了90度的全等（其實就是手拉手模型的旋轉全等）！故易證AH=EG且AH⊥EG。顯然此時FD和FC分別是⊿AEH與⊿AEG的中位線，所以FD∥AH,FC∥EG；FD=AH/2 , FC=EG/2,而AH=EG且AH⊥EG，故FD=FC且FD⊥FC。

思路2：參照⊿BDE，將⊿ABC沿BC翻折180度到BCG處。顯然⊿BDE與⊿BCG都是等腰直角三角形，且點B為其公共的底角頂點，這樣就可以構成手拉手模型的旋轉相似。

解法2：延長AC到G，使CG=CB，連接BG，EG。顯然⊿BDE和⊿BCG都是等腰直角三角形， 且具有公共的底角頂點B，這樣就構成了手拉手模型。易證⊿BEG與⊿BDC相似，而且是繞點B旋轉了45度的相似（其實就是手拉手模型的旋轉相似）！故易證EG是DC的根號2倍，且EG與DC的夾角也是45度。顯然此時FC是⊿AEG的中位線，所以FC∥EG且EG=2 FC。所以DC與FC夾角為45度且DC是FC的根號2倍，故⊿FDC是等腰直角三角形，則FD=FC且FD⊥FC。

思路3：參照⊿ABC，將⊿BDE沿BD翻折180度到BDG處。顯然⊿BDG與⊿BCA都是等腰直角三角形，且點B為其公共的底角頂點，這樣就可以構成手拉手模型的旋轉相似。

解法3：延長ED到G，使DG=DE，連接BG，AG。顯然⊿BDG和⊿BCA都是等腰直角三角形， 且具有公共的底角頂點B，這樣就構成了手拉手模型。易證⊿BAG與⊿BCD相似，而且是繞點B旋轉了45度的相似（其實就是手拉手模型的旋轉相似）！故易證AG是DC的根號2倍，且AG與DC的夾角也是45度。顯然此時FD是⊿AEG的中位線，所以FD∥AG且AG=2 FD。所以DC與FD夾角為45度且DC是FD的根號2倍，故⊿FDC是等腰直角三角形，則FD=FC且FD⊥FC。

歸納：以上三種證法都是對⊿ABC與⊿BDE中的一個或全部進行翻折變換，從而構成以點B為旋轉中心的手拉手模型，然後或旋轉全等，或旋轉相似，再結合中位線定理，從而使問題迎刃而解！其中解法2和解法3都是證得一個三角形的最長邊與另一邊的夾角為45度，且長度之比為根號2，從而得到這個三角形是等腰直角三角形，方法值得回味！將解法1,2,3的圖形融合在一個圖中，看著他們之間千絲萬縷的聯繫，不由得讓我們產生妙手天成的感嘆！

本題還有其它的解法嗎？當然有！下一集我們精彩繼續。為防迷路，敬請關注！消化要良，必須收藏！感覺很棒，點讚跟上！覺得還行，轉發別停！

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