兩等腰直角，不能構成手拉手，我們有多種方法轉化（2）#學浪計劃

例題：已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，在△DBE中，∠EDB＝90°，DE=DB，點F是AE的中點。寫出線段FD與線段FC的關係並給出證明。

前情回顧：前文我們對兩個等腰直角三角形⊿ABC與⊿BDE中的一個或全部進行翻折變換，從而構成以點B為旋轉中心的手拉手模型，然後或旋轉全等，或旋轉相似，再結合中位線定理， 從而使問題迎刃而解！那麼我們還可以如何轉化呢？

思路4：我們結合要證明的結論可以看出，實際上⊿DFC也應該是等腰直角三角形！而且它與⊿BDE有一個公共頂點D。不過點D是⊿BDE有的頂角頂點，是⊿DFC的底角頂點，其對應關係不對！所以我們應該添加輔助線，將其對應關係捋順。延長CF到G，使FG=FC，連接DG、EG，這樣⊿DBE與⊿DCG的對應關係就捋順了。顯然只要證明⊿DCG是等腰直角三角形，本題就迎刃而解了。

解法4： 延長CF到G，使FG=FC，連接DG、EG。我們需要證明⊿DEG與⊿DBC全等！ 盤點一下條件，顯然DE=DB，EG=BC（可以先證明⊿FEG與⊿FAC全等得到EG=AC，再由AC=BC傳遞得到）。因此關鍵就是需要證明∠DEG=∠DBC！易證AC∥EG，所以∠EHB=90度，又因為∠EDB=90度，故由八字形可得∠DEH=∠DBH，從而∠DEG=∠DBC！這樣就證明了⊿DEG≌⊿DBC。於是易證DG=DC且DG⊥DC。再由F是CG中點，可得FD=FC且FD⊥FC。

思路5：我們結合要證明的結論可以看出，實際上⊿DFC也應該是等腰直角三角形！而且它與⊿BDE有一個公共頂點D。不過點D是⊿BDE的頂角頂點，是⊿DFC的底角頂點，其對應關係不對！所以我們應該添加輔助線，將其對應關係捋順。取BE中點G，連接DG、FG。這樣⊿DBG與⊿DCF的對應關係就捋順了。顯然只要證明⊿DFG與⊿DCB相似，本題就可以得證。

解法5：取BE中點G，連接DG、FG。我們需要證明⊿DEG與⊿DBC全等！ 盤點一下條件，顯然DB/DG=BC/FG（FG是⊿AEB的中位線）。因此關鍵就是需要證明∠DBC=∠DGF！顯然∠DBC=45度+∠EBA+45度=90度+∠EBA，又∠DGF=90度+∠EGF，由FG∥AB可得∠EGF=∠EBA，從而∠DBC=∠DGF！這樣就證明了⊿DBC∽⊿DGF。於是易證DC=DF的根號2倍，且∠FDC=∠FDG+∠GDC=∠CDB+∠GDC=45度。那麼⊿DFC必定是等腰直角三角形，故FD=FC且FD⊥FC。

思路6：我們結合要證明的結論可以看出，實際上⊿DFC也應該是等腰直角三角形！而且它與⊿ABC有一個公共頂點C。不過點C是⊿ABC的頂角頂點，是⊿DFC的底角頂點，其對應關係不對！所以我們應該添加輔助線，將其對應關係捋順。參照⊿ABC，延長DF到G，使FG=FD，連接CG、AG、CD。這樣⊿ABC與⊿GDC的對應關係就捋順了。顯然只要證明⊿DCG是等腰直角三角形，本題就迎刃而解了。

解法6： 延長DF到G，使FG=FD，連接CG、AG、CD。我們需要證明⊿CAG與⊿CBD全等！ 盤點一下條件，顯然CA=CB，AG=DB（可以先證明⊿FED與⊿FAG全等得到AG=DE，再由DE=DB傳遞得到）。因此關鍵就是需要證明∠GAC=∠DBC！易證AG∥ED，所以∠DHG=90度，又因為∠ACB=90度，故由八字形可得∠HBC=∠HAC，從而∠GAC=∠DBC！這樣就證明了⊿GAC≌⊿DBC。於是易證GC=DC且DG⊥DC。再由F是DG中點，可得FD=FC且FD⊥FC。

思路7：我們結合要證明的結論可以看出，實際上⊿DFC也應該是等腰直角三角形！而且它與⊿ABC有一個公共頂點C。不過點C是⊿ABC的頂角頂點，是⊿DFC的底角頂點，其對應關係不對！所以我們應該添加輔助線，將其對應關係捋順。取 AB中點G，連接CG、FG。這樣⊿BCGG與⊿DCF的對應關係就捋順了。顯然只要證明⊿CFG與⊿CDB相似，本題就可以得證。

解法7：取BE中點G，連接CG、FG、CD。我們需要證明⊿CFG與⊿CDB全等！ 盤點一下條件，顯然DB/FG=BC/CG（FG是⊿AEB的中位線）。因此關鍵就是需要證明∠DBC=∠FGC！顯然∠DBC=45度+∠EBA+45度=90度+∠EBA，又∠FGC=90度+∠FGA，由FG∥EB可得∠FGC=∠EBA，從而∠DBC=∠FGC！這樣就證明了⊿DBC∽⊿FGC。於是易證DC=FC的根號2倍，且∠FCD=∠FCG+∠GCD=∠DCB+∠GCD=45度。那麼⊿DFC必定是等腰直角三角形，故FD=FC且FD⊥FC。

歸納：以上四種證法都是對⊿BDE和⊿ABC中的某一個進行處理，使其與⊿DFC能構成以點B或點C為旋轉中心的手拉手模型，然後或旋轉全等，或旋轉相似，再結合中位線定理，從而使問題迎刃而解！其中解法4和解法6都是旋轉全等；解法5和解法7都是旋轉相似，在證得一個三角形的最長邊與另一邊的夾角為45度，且長度之比為根號2後，得到這個三角形是等腰直角三角形的結論，此種方法獨樹一幟，值得回味！將解法4和解法6放在一起對照，解法5和解法7放在一起對照，看著他們成雙成對地出現，不由得讓我們發出妙不可言的感嘆！

本題還有其它的解法嗎？當然有！下一集我們將精彩繼續！為防迷路，敬請關注！消化要良，必須收藏！感覺很棒，點讚跟上！覺得還行，轉發別停！