摺紙數學

2021-02-18 上外附中數學工作室

Hey guys！

摺紙藝術據傳起源於中國的漢朝，應該是在東漢蔡倫發明造紙術後不久。隋朝時經朝鮮傳到了日本，又從日本傳向西方。

數學家對於摺紙一直懷有極大的興趣，他們發現其中包含了許多奇特的數學現象。例如，可以用摺紙來三等分任意角或加倍任意正方體；還可以利用摺紙來解四次代數方程. 

一張白紙，不剪不裁，卻能折出無數變化。尺規作圖無法完成的任務，摺紙卻能解決。為什麼它能有如此多變化呢？這還要從摺紙對應的幾何操作說起了。

在細節討論摺紙幾何之前，我們總假定所有摺紙均為在理想的平面上進行，並且所有摺痕只能是直線。摺紙公理最早於1989年由雅克·賈斯汀（Jacques Justin）發現，共推衍了6個公理，1991年，這6個基本摺紙公理又被日裔義大利數學家藤田文章（Humiaki Huzita）重新發現。2001年，羽鳥公士郎（Koshiro Hatori）發現，藤田的6個摺紙公理並不是完整的，給出了摺紙的第7種操作，因此這7種操作現在合稱摺紙幾何（Huzita–Hatori）公理。

現在我們逐個看一下這些公理：

公理1：

過任意兩點可以折一條直線。

公理2：

兩點可以重合對摺，且摺痕是兩點連線的垂直平分線。

公理3

兩線可以重合對摺。 兩條相交線時，摺痕是兩線夾角的平分線；兩線平行時，摺痕與之平行且三平行線之間距離相等。  

一條直線自身重合對摺可以讓摺痕過一已知點，

且摺痕是該直線的垂線。

公理5  已知兩點和一條直線，可以將其中一點折到已知直線上且讓摺痕通過另一個已知點。

公理6  已知兩點和兩條相交線，可以將一點折到一條直線上同時讓另一點落在另一條直線上

公理7  已知一點和兩條直線，可以沿一條直線的垂線將該點折到另一條上。

最後附上兩種摺紙三等分角的方法：

Hisashi Abe的銳角三等分折法

Jacques Justin的鈍角三等分折法

Okay，今天的推送就到這裡啦！credited to 高二（6）馮曹溦 

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