添加平行線構造模型圖,解決線段的比值問題,方法多樣有難度

2020-08-28 勤十二談數學

相似三角形中,有兩個比較基礎的模型,那就是「A」型與「X」型,線段的比值問題可以通過添加平行線,構造兩種基本模型圖或平行線分線段成比例解決。解決這類問題的關鍵是添加輔助線,方法多樣,一道題目一般有多種做輔助線的方法,自己在解題時可以嘗試利用多種方法解題。

例題1:△ABC中,D為BC上的一點,BD:CD=2,E是AD上一點,AE:ED=1:4,求AF:FC的值

方法一:過點D作DG∥EF,交AC於點G,可得AE:ED=AF:FG=1:4,CD:DB=CG:GF=1:2,進一步可求出AF:FC。

如果是這樣做輔助線的話,可以利用構造出的兩個「A型圖」求解,也可以利用平行線分線段成比例求解。

方法二:作DG∥AC交BF於G,通過DG∥AF可得△AEF∽△DEG,相似三角形對應邊成比例,AF:DG=AE:DE=1:4;通過DG∥CF可得△BDG∽BCF,相似三角形對應邊成比例,DG:CF=BD:CD=2:3,進一步可求出AF:FC。

如果是這樣做輔助線的話,構造出一個「A」型圖,一個「X」型圖,然後利用相似三角形的對應邊成比例得到結論。

方法三:過點A作AG∥BC交BF的延長線於點G,通過AG∥BD可得△AEG∽△DEB,即AG:BD=AE:ED=1:4;通過AG∥BC可得△AFG∽△CFB,最後求得兩條線段的比值。

如果是這樣做輔助線的話,構造出兩個「X」型圖,然後利用相似三角形的對應邊成比例得到結論。

這道題目遠遠不止這三種方法,感興趣的同學還可以嘗試使用其它做輔助線的方法來解決這道題目。

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