「三角形內角和是180°」的驗證教學

幾種常見方法的比較

驗證「三角形的內角和是180°」，常見的有三種方法：（1）用量角器量出三個角的度數，然後加起來看是不是180°（簡稱「測量求和法」）；（2）將三角形三個角剪下來，再將它們拼在一起看能不能組成平角（簡稱「剪拼法」）；（3）將三個角折起來拼在一起，看能不能組成平角（簡稱「折拼法」）。

這三種方法中，「測量求和法」的優點是：接近學生的思維水平，課堂上學生很容易想到，也很容易理解；缺點是：「測量」存在著誤差，因此測得的三個角的度數加起來往往都不是180°。這使得測量結果非但不能驗證結論，相反卻易給人造成「三角形內角和不是180°」的錯誤印象。「剪拼法」的優點是：操作簡單、看起來一目了然；缺點是：破壞了原圖形，不能很好地體現原圖形與撕下來後圖形間的聯繫與變化。「折拼法」有效地避免了量、撕的缺陷，可惜操作起來方法不明──學生並不能十分清楚地掌握折的方法。因此，我們對教材中的「折拼法」方案稍作改進：首先讓學生折「高」找到對應的「垂足」，然後將三角形三個「頂點」分別對準「垂足」進行摺疊就行了（如圖1）。經改進操作起來簡捷多了。

幾種常見方法的導出

其實，對於三角形內角和的三種常見驗證方法，或多或少都存在著誤差。用任何一種方法驗證「三角形內角和是180°」，都不足以讓人信服。因此，讓儘量多的驗證方法出現在課堂上，「讓各種方法相互解釋、互相佐證」是上好這節課的關鍵。

然而事實並不隨你我所願。正常情況下，學生上課時只能想到「量」這一種方法，其他方法的出現，充其量僅僅是一兩個「優等生聞道預先」。如何通過教師藝術的啟發，引導出多樣的驗證方法呢？我們對課堂中可能出現的種種情況進行了預設：學生猜想「三角形內角和是180°」，教師將猜想板書在黑板上追問：三角形內角和真的是180°嗎？說說你的依據。

（1）「測量求和法」的引出：採用「一點突破」，緊扣「內角和」逐步逼近。

先用紅筆圈出課題「三角形內角和是180°」中的「內角和」，（停頓，看看老師的暗示能不能個學生啟發）如果學生還是想不到，接著啟發「課題中「內角和」是什麼意思？」

如果學生還想不到方法，繼續提問：要知道三個內角「度數」的和，要用到什麼工具？怎麼辦？

（2）「剪拼法」的導出：採用「說半句留半句」的策略，將「180°」與「平角」聯繫起來。

先用紅筆圈出「180°」並提問：我們前面學過180°的角又叫做──（緩緩地、比學生慢半拍）平角。

引導：判斷三角形的內角和是不是180°，就可以將三角形的三個內角──（等待，學生能說讓學生說，學生不能說教師手勢在前，語言在後）放在一起，看它們能不能拼成（再等待）──平角。

（3）至於「折拼法」，讓學生自學教材，邊看邊操作就行了。

幾種常見方法呈現的「序」

驗證三角形內角和是180°，教師們基本都是從學生較易理解的用量角器量角求和入手，然後再研究撕、折等拼角的方法。對這樣的安排，我認為有些不符合邏輯──因為在交流「量」這種驗證方法時，不管教師怎樣解釋，實際量得的結果總是實實在在地影響著「用拼角的方法驗證三角形內角和是180°」的可信度──理由很簡單：工具測量有誤差，粗略「拼湊」誤差更大。 「誤差」是一個「剪不斷，理更亂」的話題，教學時我們不妨採用「迴避」的策略：首先，將學生提出的各種驗證方法列舉在黑板上；然後在集中交流時，先討論撕或折的方法，讓學生體驗、確認「三角形內角和是180°」；最後，與學生一起交流用量角器測量驗證的方法並討論：為什麼測量算得的三個角度數加起來不是180°呢？這樣讓學生正向確認，反向解釋，不但避免了誤差幹擾，而且強化了「三角形內角和定理」。

幾種不常見方法的介紹

1.三角形內角和定理的發現。

如果事先告知學生「三角形的內角和是180°」，我們可以緊扣180°進行驗證。如果事先沒有告知「三角形內角和是180°」怎麼會將「三角形內角和」與「180°」聯繫起來呢？

據說，帕斯卡首先是在無意中發現了「直角三角形的內角和是180°」。他將矩形沿對角線剪開，發現「任意矩形都能分成兩個完全相同的直角三角形」，他想：「如果改變矩形長和寬，不就可以得到任意直角三角形嗎？」因為矩形的四個角都是直角，所以矩形的內角和等於360°。又因為「分成的直角三角形的內角和正好是矩形內角和的一半」，所以「直角三角形內角和為180°」。接著，帕斯卡又發現「任何三角形都可以分成兩個直角三角形」，這兩個直角三角形去掉兩個直角，剩下的就得到原三角形的內角和為180°。

2.三角形內角和定理的證明。

證明「三角形內角和是180°」，常用方法是作一條平行線，利用兩直線平行，內錯角和同位角相等進行證明。（如圖2）

3.三角形內角和定理的直觀證明。

其實無論是「量」還是「撕」、「折」，都存在著誤差。若能找到一種直觀的、沒有誤差的、學生能理解的方法，對學生口服心服地接收「三角形內角和是180°」至關重要。特向大家推薦將下面這種驗證方法：先將鉛筆筆尖朝右與邊AB邊重合，然後依次按照三角形的三個內角∠A、∠C、∠B的大小旋轉鉛筆，三個角都轉過後，鉛筆筆尖正好調轉了方向，由向右變成向左（如圖3）。

鉛筆一共旋轉了180°，所以三角形內角和是180°。

（海安縣教育局教研室 仲海峰）