談求面積的 Pick 公式
Pick 公式、Heron 公式與測量師公式，是數學裡求面積的三個重要公式。本文我們著重在討論其中的Pick公式 ，從問題出發到猜測、發現、檢驗與證明等的發展過程，內容淺白，高中生亦可研讀。
問題起源
好奇與實用是數學發展的動力，兩者相輔相成，不可偏廢。
古埃及人鋪地板時，用同一種大小的正多邊形，結果只能是正三角形、正方形與正六邊形所鋪成的三種樣式（見圖一、二及三）。
這媲美於正多面體恰好有五種，都是很令人驚奇的結果。為了追究背後的原因，他們發現了「三角形三內角和為一平角(180°)定理」，由此證明出鋪地板恰有三種樣式，從而對經驗事實求得解釋(explanation)。
進一步，在正方形樣式的地板上 [即平面正方形格子網或幾何板 (geoboard)]，古埃及人又從中玩索出畢氏定理(見圖四)，以及其他許多幾何定理。在驗證畢氏定理時，涉及了需計算以格子點為頂點的正方形之面積。
另一方面，基於實際應用，如農夫在田地上插秧或種植果樹(假設種在正方形的格子點上)。顯然，田地越廣，所種的棵數就越多，反之亦然。因此，土地的面積與棵數具有密切的關係，但這個關係是什麼呢？
不論是起於好奇或實用，都引出了下面一個有趣的數學問題：
問題：平面上以格子點為頂點的多邊形，其面積公式是什麼呢？如何探尋它？（見圖五）
本文我們就來探討這個問題。它從發現到證明的過程，都富有思考方法的啟發性，值得追尋。
一維的特例：植樹問題
要追尋一個公式或規律，通常是由特例著手。一個問題的特例，正如其推廣或類推，往往有各種式樣。換言之，一個問題並非是孤立的，而是坐落在由許多問題所連結起來的四通八達的網路上。例如，在上述問題中，將多邊形改為三角形或長方形，就是一個特例的思考方向。也可以將二維平面的問題，改為一維的直線問題，這又是另一個特例的思考方向。找到一個適當的特例，由此切入，逐步尋幽探徑，發現其一般規律後，從而解決整類的問題，這是最令人欣喜的事情。
我們選擇一維的特例來思考，此時不過是簡單的植樹問題。例如：在圖六的線段上每隔單位距離種一棵樹（即在格子點上種樹），兩端皆種，問線段有多長？
我們觀察到格子點可分成內點 (interior points) 與邊界點 (boundary points) 兩類。假設內點與邊界點的個數分別為 i 與 b（事實上 b=2）。顯然線段之長 L 為：
L=間隔數
=i+1
=b+i-1
我們也可以這樣想：如果在相鄰兩格子之中點加以分割，得到許多小段，那麼每一個內點所在的小段皆具有單位長度，而每一個邊界所在的小段只有 單位長度，見圖七。換言之，一個內點貢獻一個單位長度，而一個邊界點只貢獻 個單位長度。因此，線段的長度為：
推廣到二維平面 ：
對於平面上以格子點為頂點之多邊形，其面積公式是什麼呢？在上述(1)～(4)的公式中，只有(3)與(4)兩式比較有可能。因此，我們初步猜測多邊形的面積 A 為：
接著是用一些例子對猜測作試驗。因為多邊形有無窮多種，所以即使試驗再多的例子都成立，這都不能代表已證明出我們的猜測，但是只要有一個例子違背（稱之為反例），就否定掉猜測。舉例而言，「凡是天鵝都是白色的」，我們觀察過再多的白色天鵝都無法得到證明，但是只要出現一隻黑天鵝就否定掉這句話了。這種證明和否證的不對稱性值得注意。
現在，我們試驗圖八、九與十等三個例子，列表如下：
(I)b
(II)i
(III)b+i-1
(IV)
(V) 正確面積
10
2
11
7
6
17
5
21
13
12
9
7
16
11
10
比較(III)與(V)行，(IV)與(V)行,我們發現公式(5)與(6)都不對。該如何修正呢?
我們進一步觀察到(IV)與(V)兩行有規律，即相差1，所以我們將(6)式修正為
（式7）
這個面積公式就「適配」(fit) 上述圖八至圖十的三個例子。
我們也可以從另一個角度來觀察(7)式。仿照一維植樹問題的情形，考慮圖十一長方形。我們發現，一個內點貢獻面積1，而邊界點分成兩種情形：
(i)在側邊上的點，每一點貢獻面積
(ii)四個頂點，每一點貢獻面積。
因此，如果每一個邊界點都看成是貢獻面積 ，則整個合起來就多算了一個單位面積，必須扣掉。換言之，(7)式是一個合理的猜測。
再對(7)式作試驗，例如考慮圖十二、十三與十四，容易求得它們的正確面積分別為4、13與12。另一方面，按公式(7)來計算，分別得到4、13與13。因此，對於圖十二與十三而言，(7)式成立；但是對於圖十四，(7)式就不成立了。我們發現圖十四比較特別，有兩個邊交叉了，這並不是通常所謂的多邊形。如果將這種情形排除掉，只允許邊沒有交又的情形，我們稱之為單純多邊形 (simple polygon)，那麼我們猜測(7)式對於單純多邊形都會成立。
豈其然乎？我們用了更多不同形狀的單純多邊形作試驗，結果發現(7)式都成立（讀者應該自己嘗試）。至此，我們更有理由相信，(7)式很可能就是我們所要追尋的公式。下一步，也許該嘗試去證明它了。
(7)式有各種證明方法，本文我們只介紹兩種證法。
Pick 定理的證明
一般而言，數學是先有觀察與猜測（這個階段允許犯錯），然後才有試驗、修正與證明。數學絕不是突然 (out of the blue) 從天上掉下一個公式或定理，然後就要我們去證明。通常數學教科書所犯的毛病就是按「定義、定理、證明，等抽象方式來舖陳，這樣無法看到數學的發展過程。
為了證明(7)式，首先讓我們分析單純多邊形:
(i)最簡單的單純多邊形就是原子三角形 (atomic or primitive triangles)，亦即除了三個頂點之外，三邊及內部皆不含格子點之三角形，見圖十五，其面積皆為，並且可用(7)式來計算：+0-1=。因此，對於原子三角形，上述(7)式成立。
(ii)其次，我們觀察到，對於任意的單純多邊形都可以先分割成三角形（即三角形化），再進一步分割成原子三角形之組合(這叫做原子化)，見圖十六。
(iii)最後考慮任何單純多邊形 Γ 將它分割成兩個單純多邊形 Γ1與 Γ2，見圖十七。設 Γ 有 b 個邊界點、i 個內點，並且 Γ1與 Γ2 分別有 b1 個與 b2 個邊界點、有 i1 個與 i2 個內點。再設 Γ1 與 Γ2 有 b3 個共同的邊界點，則
所以
因此，公式(7)在分割下，具有加性 (additivity)
上述三個步驟綜合起來，我們就證明了(7)式，一旦猜測有了證明，就成為定理。
文章轉載於： 談求面積的 Pick 公式 蔡聰明 《科學月刊》