計算:為什麼數學家對質數很著迷?

數學是科學的靈魂，而科學又是技術的源頭，技術又是生產力增加、生活條件提升的必要條件

令人著魔的質數

除了1跟它本身，沒有其他數可以整除的，這種數叫做質數。

我第一次知道質數這個詞應該是小學四年級的時候，教科書裡就要求我們掌握100以內所有質數，據說現在的小學數學教材，已經開始教怎麼判斷100以內的數是不是質數的計算方法了，用的是一種叫做「質數篩」的工具。

所以，如果你到現在還不知道什麼是質數，那就等於說在具體的數學知識上，你已經被四年級的學生甩下了。

自然數中那些不是質數的數字，數學家們對它們幾乎是無視的態度，但凡是涉及到質數就會非常感興趣，甚至到了著魔的地步，這是為什麼呢？最簡單的理解就是，所有非質數隻要通過質數簡單的相乘就可以得到了，所以當我們把質數的規矩了解透了，整個自然數，我們就算是全面了解了。我們就會了解到自然數的結構，而且這些結構也許可以對應到現實世界裡一些真實存在的東西上。

當然現在這種對應關係只是隱隱約約地已經浮現出來了，但是不是真的丁是丁，卯是卯地對應上了呢？

還在研究當中。

最早迷上質數的人

有文字資料可查的最早迷上質數的人是歐幾裡得，他是公元前300多年的人，如果生在中國，大約跟秦王嬴政爺爺的歲數是差不多的，他當時用了一種反證法，證明了質數有無窮多個。

歐幾裡德

反證法是一種邏輯思維裡的重要工具，因為質數有無窮多個，你要是順著這個方向想證明它非常難，你總能找到下一個質數。

那什麼時候才能算到頭呢？

反證法就是先假設「質數有無窮多個」是錯的，然後再根據這個錯誤的大前提繼續利用正確的邏輯一步一步推演，爭取能夠推導出一個荒謬的矛盾出來。

如果中間推導都沒有問題的話，但最終卻冒出了一個荒謬的矛盾，那說明什麼呢？那也只能是最初的那個假設是有問題的。而且如果最初的假設只能由「是和不是」來劃分的話，比如像質數是不是無窮多個呢？那麼剛剛那個假設不是無窮多個就會出現矛盾了，那只能承認質數是無窮多個，所以到此證明就完成了。

這個證明的具體方法你要是感興趣，可以想想，想不出來也可以查一查，咱們今天不多說了。它的關鍵就在於怎麼構造一個荒謬的結論出來，這一步是最難的。

歐幾裡得之後很長一段時間裡就再也沒有記載有人詳細研究過質數了，這段空窗期有多久呢？說出來嚇一跳，1800年，我們一會兒來詳細說說這前後2000年左右的情況。

質數研究史

在1601年的時候，既是法官又是業餘數學家的費馬開始研究費馬數，費馬數由一個公式來定義，咱們不具體說了，如果順著這個公式算下去，前幾個數都是質數，這前幾個是3、5、17、257、65537，但是第六個數是不是呢？

皮耶·德·費瑪

這判斷難度太高了，因為這第六個是4294967297。你怎麼能夠確定這42億多的數字有沒有其它的數能整除它呢？太難了。

但這個費馬是一個業餘數學家，他經常就不負責任地亂猜、亂證，他就看這前幾個數沒問題，所以就猜這個公式大概也沒問題，這個公式算出來的其它數也都是質數。

後來這個坑是在費馬去世之後67年被一個25歲的職業數學家歐拉給填上的。但其實歐拉是把費馬數給槍斃了，因為那個42億多的數字中間有一個因子是641，用它可以整除。

在這個期間還出現過一個神父兼數學家，叫梅森，他也構造出另外一個公式，這個公式可以說就是2的 n 次方再減1，如果這個 n 是質數的話，這個公式算出來的數也是質數。當初梅森神父跟費馬大法官都只是這麼一個猜測，他們也都是沒有能力證明的，其實也是因為難度太高，連歐拉也沒有辦法證明。

在這個梅森數提出之後250年，美國數學家科勒成了梅森質數的劊子手，因為他發現 n 次方的那個 n 等於67的時候，算出來的數字不是質數，那個巨大的數字是可以被193707721這個數字整除的。但梅森公式是要算出好多好多位才能出現這第一個反例。

所以，200多年來就惹得數學界也心裡頭痒痒的，就想看看這個公式算下去，能不能找到下一個更大的質數。這當然是一個沒有極限的挑戰了。

科勒槍斃了梅森質數的公式是在1898年，那會兒要想確認這個也只能靠手跟筆來算。雖然有很多數學算法可以簡化驗證的工作，但依然是一個重體力的重複性的，而且還不能出錯的嚴謹的工作。

這種工作誰做最合適呢？是數學家嗎？不是的，是計算機。

當計算機在上世紀60年代剛剛從軍事用途下放到民用，下放到科研的時候，算最大梅森質數的軍備競賽就開始了。直到現在，很多的電腦測試軟體在測試穩定性的時候，都會讓 CPU 處於百分之百的負荷運轉，就是用來確認梅森公式算出來的那個數到底是不是質數的程序。當然，數學家對質數的研究遠遠不止這2個例子，只不過它們是最好懂的。

質數的意義

質數的意義就在於，當我們研究透了以後，我們會重新認識數的結構。

普通人對數是完全沒感覺的，那不就是1234嘛，有什麼結構啊？

如果真的是這麼簡單，幾百年來就不會吸引那麼多數學家了。所以想了解數的結構，不要著急，咱們在接下來的文章中會慢慢地涉及到。

文藝復興與科學復興

現在我們把視角轉過剛剛咱們說的對質數的研究存在一個空窗期1800年。

可能有人以為，這麼久的時間，是不是因為全世界的數學家都忽略了這個小知識點呢？或者是因為它太難了，進攻了1000多年也沒有拿下來？不是的，而是在這段時間裡頭，整個西方的文明進入了大面積，長期地衰退，你就可以理解為一個長達1000年的熊市。

後來牛市終於來了，推動牛市的其中一個重要的心理支撐點是什麼呢？那就是我們的先人，我們的老祖先是很牛的，可我們這些不肖子孫把他們的寶貴遺產給遺失了，我們應該重新撿回來才行啊。

文藝復興運動裡的科學復興，就是建立在這種情緒上的。崇古尚古之風每個民族都出現過，但是歐洲人民崇古尚古是幸運的，因為他們的老祖宗在1000多年前留下的那些東西是一種系統化的思考，尤其在功利心特別重的拜金主義的社會裡，這種思考的味道是非常容易辨識出來的，通俗來說，一聽上去就是那些嚴重不切實際的，形上學的內容。

2500多年前這股思潮最早出現的時候，就是盡最大努力探索自然界的道理，並且特地忽略世俗，它是偏愛抽象理論的，嚴重忽視實用技術的，它把智力活動作為人生最大價值的體現，就是所謂的重智。

比如有的就說大自然的一切都是數，數的規律是永恆的。稍微形象一些就是說幾何，比如柏拉圖學園門口就掛著一張牌子，不懂幾何者莫入。還有人問畢達哥拉斯，學數學有什麼用呢？畢達哥拉斯根本就不回答，轉過頭就吩咐自己的助手說，給這個問問題的人一個銀幣打發他走，因為他想從數學中漁利。你看，那會兒社會精英的價值觀就是遇見用世俗眼光來評價數學的人，那態度就跟打發乞丐是一樣的。雖然2500年前，用數構造出的世界牽強附會的地方非常多，但不可否認，那就是西方人的祖先對世界的描述，對價值的判斷。

古人不切實際的念頭

歐幾裡得大約是嬴政爺爺那個歲數。但歐幾裡得其實已經是西方古代這股文化潮流的末期了。這個潮流大約是在他之前150年就開始流行起來。

希臘文化，尤其是跟科學相關的，由這6個人接續了這150年的火炬，畢、蘇、柏、亞、歐、阿，就是畢達哥拉斯、蘇格拉底、柏拉圖、亞里斯多德、歐幾裡得、阿基米德。這6個人要不就是老師跟學生的關係，要不就是一個人臨近晚年了，下一個人剛好出生，剛會認字的時候就看到上一個人寫的書，然後被感召到了，被感動了。

而我們對比來看，在這150年裡頭，對應中國的什麼時期呢？那正好就是戰國時期，當時談不上有什麼主流文化，那是一種百家爭鳴的狀態。但是，百家歸百家，只有墨子一支是跟科學掛點邊的，因為他已經開始提倡測量和量化了，但是區別就在於墨子更關注技術的應用，還不是那種完全脫離實際理論上的計算跟邏輯推演的範兒。

中國古代的其他流派那當然也是思考大自然的，這些理論可以統稱為道，但這個道屬於純文化學的思辨，這些內容百花齊放是可以的，但驗證對錯就談不上了。西方到了託勒密的年代，也大概是中國剛剛廢黜百家、獨尊儒術的年代，西方跟中國在科學這種文化上算是一起衰落了，中國講究的是以德治國，以德服人，這些就跟科學相去更遠了。

對於西方的古代先賢來說，重要的元素就是「數」和「幾何」，是重智的，而不是重道德。西方古人的這種思想，曾經佔據過社會主流思想很久很久時間，少說有幾百年。所以，當這股主流思想因為機緣巧合在1000多年之後的文藝復興把它復興了，深挖祖國優秀文化傳統思想的時候就重新恢復了。

文藝復興的復興，就是復興1000多年前的那個輝煌，整個歐洲的精英雖然經過了漫長的中世紀，但是依然對1000多年前那種不切實際的念頭感覺是榮耀的，是輝煌的。

所以，今天我們講的科學思維，就是要借數學家為什麼這麼著迷質數這個問題，帶大家淺嘗輒止地感受一下科學為什麼是起源於歐洲的，感受一下他們的價值判斷。

這種價值觀對金錢至上的社會來說略微有點奇怪，跟大多數人說的時候，他們的反應就是「你跟我說這個幹什麼呀，這跟我有什麼關係呀？」

但其實知道了這些，你對人類是怎麼一步一步發展到這樣現代化的程度，就有了一個從理工科角度的文化理解了。