作者：徐利治
我很高興來到北京師範大學,也很願意談一談與數學教育有關的事情.因為文化教育是國家大事,而數學教育是文化教育中的最重要的組成部分.
我要談的幾部分內容:第一部分是簡歷;其次談一談青少年時代學習數學的印象;第三,經驗;第四,一點感想;最後談談我人生的格言,學數學的經驗總結.
1. 我的成長經歷1920年9月,我出生於江蘇省沙洲縣(今張家港市),沙洲屬於常熟縣,解放後改成沙洲市.再後來又改成張家港市.我的小學時代就是在老家沙洲度過的,1937年我考上了一所師範學校——江蘇省立洛杜鄉村師範學校,是以培養鄉村小學教師為目標的,全部公費.
這段經歷對我人生來講非常重要.假如我沒有機會進江蘇省立洛杜鄉師的話,可能我就沒有生存機會.因為家境清貧,中學的學費很貴,一般地講半個學期中要60到70銀元,當時我父親去世了,學費無論如何是湊不出來的.
那個時候,江蘇省從南京到上海,叫滬寧縣,有四所著名的省立師範學校,南京的棲霞鄉師,無錫的洛杜鄉村師範,蘇州有吳江鄉師,上海的黃州鄉師,這四個鄉村師範學校很難考,我就讀的洛杜鄉村師範當時在四所鄉村師範中是水平最高的.每年都有好幾百人應考,每年只錄取一個班,45人.如果考取以後,全部公費,連飯錢都不用花,甚至還有一些零用費.所以我要感謝鄉村師範對我的培養教育.鄉村師範的教育課程基本上相當於初中,而且考進鄉村師範的學生都很優秀.我的同班同學基本都是小學第一名.跟我一起去考的人,第二年都沒有考取.所以鄉村師範的學生水平相當高,考鄉村師範不見得比現在高中考大學容易.
1937年,日本的侵略戰爭開始了.這年冬天,我們五個同學,徒步旅行到安徽,安徽安慶的輪船把我們帶到武漢,住江蘇難民收容所.過了一陣,教育部流亡生登記到貴州的中學去讀書.我就到了貴州銅仁國立第三中學師範部學習,這是高中師範.剛好跟我的鄉村師範學習接頭.1940年到貴陽參加大學統一招考,我就考上西南聯合大學的數學系了.
進大學前接受的是師範教育,所以對師範教育有特殊的感情.如果沒有抗戰,我讀不了大學.1938到1940年,我在貴州銅仁國立第三中學師範部學習,相當於高中階段.1941到1946年,我在昆明西南聯合大學學習和工作.
下面談談我青少年時代學習數學的印象.
2. 青少年時代學習數學的印象回憶起來有些人是我終身難忘的,他們是虞明禮,吳在淵,陳建功,何魯,章克標和劉燻宇.這些人給我的青少年時期留下了深刻的記憶,半個世紀過去了,我的印象依然很清晰.
我在洛杜鄉村師範讀的是虞明禮編寫的代數課本.這本書給我留下了很深的印象,講得很清楚,例子也講得很明白,有的東西自己就能看懂.
吳在淵是上海大同大學教授,他是自學成才,編了幾何、代數課本,也發表一些初等數學的文章.
陳建功和毛路真合編過一本《高中代數》,我進大學以前翻閱過,他的《高中代數》主要是參考《大代數》寫成的,比大代數要精簡,在一些大的老的圖書館說不定還能找到這本書.
何魯早年留學海外,在抗戰時期培養了很多學生,當時已經是中央大學等很多大學的教授了.何魯出過一些初等數學的學習參考書.他編的書都是印得很漂亮的,有《虛數詳論》、《行列式詳論》、《二次方程詳論》等等.我買了兩本,分別是《行列式詳論》和《虛數詳論》.他的書是課外看的.劉燻宇先生的《數學的趣味》使我對數學產生了濃厚的興趣,此書是解放前開明書店出版的.初中時,我讀了這本書明白了數學歸納法是怎麼回事.
章克標也出了一本《算術的故事》,講很多數學家的故事,講古代的數學家,阿基米德,拉格朗日等.看了以後非常受啟發.高斯,拉普拉斯都講過,每一個傳記前面都有照片.
還有一本,是陳文翻譯的《查裡斯密大代數》,對我的影響很大.那個時候在鄉村師範,相當於初中階段,數學老師不是數學系畢業的,是武漢大學理化系畢業的,所以數學教師很一般.但是教科書,還有課外一些讀物比較好.我們在那個環境下有充裕的課外時間,一方面聽聽課,另一方面主要是看看課外書.有很多好處.
而且我還看到嚴濟慈寫的一本幾何教材.但我們沒有用它作教本.老師是根據《平面幾何》來教的.它的演繹證明對青少年很有好處.演繹論證方法給我當時印象很深,邏輯演繹的每一步都有所根據.
到了貴州銅仁,我又看了高等代數.在無錫買的《大代數》,我自學了一部分.因為高中師範不會講太多的東西,都是我自己看,看得很費力.但是我的基本功得益於大代數.
十年前我到北京參加過一個會,碰到了我清華的一個老同事,年齡比我小兩歲,叫周毓麟,後來是院士.他說:「我現在所以還能做計算數學方面的工作,實際上得益於高中時代的大代數,他說沒有大代數的功夫啊,現在的計算是算不出來的.」我的體會也是如此.講行列式,講到拉普拉斯展開,用子行列式的展開,整個行列式的值.我都能看懂,看了很有好處.這些定理都是大學線性代數裡講的.可是在進大學之前我就懂了.棣美弗定理複數的開方根,
可惜解放後,看到我的孩子們的教材,相當於小代數.解放後的代數以小代數為主.解放前,我進大學以前,雖然讀的是高中師範,但是朱正青老師給我們講解析幾何,解析幾何我也學得很懂,二次曲線的分類都基本明白的.橢圓、雙曲線、拋物線,哪一個類.我們都基本會的.而且理由也懂的.這些東西,在解放前,我們基本掌握,非常有益處.我在大代數裡面學到初等概率論,排列組合,非常有興趣,很好.還有級數論,無窮級數,根值判別法等,都弄懂了.高中生能弄懂的,並不難.方程中有一個定理是難的,給一個
第二個印象是興趣很重要.前幾年開會碰到了清華大學的同學,他跟我講他之所以讀數學系,是從幾何學學出興趣來了.幾何學的演繹論證,嚴謹性好得很.我說你是從幾何出發進數學系,我是從代數出發.雖然出發點不一樣,但最後殊途同歸.
第三,課外閱讀對增強求知慾很重要.何魯的書,科普讀物,可以.讀了非常有趣味.一定要讓學生有時間課外讀書.
第四個印象是習題自己做,平時不用交作業,沒有負擔,很感輕鬆自由.大家自己找題目做,做出來很有趣.做題由容易到難,先做容易的,一步步把難的做出來,做出來很高興.從鄉村師範,後來到貴州銅仁讀高中師範,我的印象是老師不給我們批改作業的.一個學期,即使要交作業,只交一兩回.老師不批改作業,所以我覺得那時的老師也輕鬆得很,只講課,不批改作業.這些印象和經驗,恐怕現在不能照搬.由於條件不一樣,我只是把當年的情況提出來給大家供參考.
所以這是我的四點印象.
3. 我的經驗下面我就總結五點經驗.
第一條:經典數學,好教好學.老師也很好教,學生也好學.第二條:學通例題,很有好處.把例題學通,書中的例題很重要.書中的例題一定要搞得很透徹、明白.書上的例題都是很典型的,都是有啟示作用的.對青少年學習數學有幾忌.
一忌教材教學內容中雜質太多.教材要力求「純」.現在我看解放後的書,我翻一翻,雜質太多.理論聯繫應用是對的.但是很多應用題聯繫到社會生活、工廠車間的實際,聯繫到股票市場.那專門的名詞要弄懂以後才能做數學題目.為了做這個題目,就要去了解那些與數學無關的東西.那些東西我覺得放在教材中就變成數學教材的雜質.雜質多有什麼壞處呢?分散精力,分散注意力.我聽說中學老師對那些名詞都弄不明白,要解釋半天.這種聯繫實際是讓學生學經濟科學呢,還是學生產實際呢?所以不應該有雜質.我們以前學的數學,大代數也好,平面幾何也好,沒有雜質.所以,第一要純,讓青少年學很純的數學.有的人說數學枯燥無味,其實不見得,數學本身是優美的.幾種形式,對稱性、統一性、普遍性.雜質太多,把數學美都衝淡了、瓦解了、分散掉了.不應該讓青少年在數學學科裡分散注意去搞那麼一堆與數學無關的名詞、概念.假如當年我學數學,裡面應用題講了很多,而且煩躁得不得了.可能也對數學沒有興趣了.二忌教材中概念名詞太多.概念名詞太多,青少年沒有興趣.因為青少年思維發展過程是從具體到抽象,從感性到理性.這個過程是發展的.數學課一下子出現很多名詞概念.而且叫學生背啊,那是掃興.另一個,我認為數學本身是優美的,強調趣.趣是有趣,興趣.不可以割裂從生動直觀到抽象思維天然的橋梁,這種認識過程應該體現在數學教學和教材中.不要破壞學生的好奇心和求純求美的天性.理論聯繫實際是重要的,但不可以嚴肅化.所以要利用中學生的好奇心,數學教材教法要體現這個精神.
下面講講我學數學的人生總結.真正數學學好的人都有這樣類似的體會:
「興趣使人忘卻疲勞;志趣使人精力持久;樂趣使人精神充實;三趣具備,自學必有所成,能享健康長壽,且能成為後輩存在的銘記.」
很感謝他們把它收藏進中華名流格言裡去.我在長春中國人民大學(後改成吉林大學),教了幾十年的書,感到人生非常愉快.教學科研精力持久.數學教學跟科研結合,教學相長,通過教學,通過科研,我在吉林大學數學系教了十七門不同名稱的數學課程,增長了很多知識.教學相長.我提倡我的研究生,我的助教,鼓勵他們多教課,不要選擇課,代數幾何分析什麼都教,要把興趣擴大.提高水平,做研究最後就能夠集大成.我現在八十七周歲加一個月,一點病都沒有.我的健康得益於搞數學.我從事數學學習、教學、科研、實踐,已經把我身體搞得很健康了.所以前幾年吉林大學數學系邀請我去開會.我沒有去成.我就寫了一封信,總結數學與我的關係:數學使我快樂,數學使我健康,數學使我長壽.我相信,再過兩年、三年我到九十歲,我講這個話就更有資格了.
附:答老師同學問王昆揚(北京師範大學數學科學學院教授):解放後,近些年數學教科書雜質比較多,您覺得原因是什麼?
答:我覺得原因是多方面的.其中一個原因,我想啊,解放後提倡大家政治學習.政治學習裡邊提倡辯證法唯物論,這個我覺得是完全正確的.搞辯證唯物主義是對的,其中有一條,就是「理論聯繫實際」強調得非常厲害.
特別有些政治運動.不聯繫實際不行,而且我們搞理論經常受到批判,我本來也受到過批判.說我們理論不聯繫實際.因此呢,理論聯繫實際就成了大家的擋箭牌和護身符.寫教科書的人一定要強調理論聯繫實際,開會一定要強調理論聯繫實際.理論聯繫實際並不錯,我現在還贊成理論聯繫實際.但是它嚴肅化了,嚴肅化了的程度,最突出的例子就是文化大革命期間,清華大學編的一本兩毛錢能買到的微積分書,一把大鋤通往微積分,但是聯繫實際嚴肅化了.中學老師、編中學教材的一些人、教育界的一些人都要強調實際.強調聯繫實際是對的,但是偏了,他們對聯繫實際的意義不了解,對聯繫實際的理解不深刻.其實數學理論聯繫實際啊,有一個人跟我講的話我很贊成:「數學是聯繫聯繫實際的學科.」,工程科學、物理科學聯繫實際近了,我們數學科學可以聯繫這些東西,他們需要用到數學.兩個聯繫啊,前面是動詞,後面的聯繫是一個形容詞.它是間接聯繫,數學聯繫實際是間接的.你不能說你學了數學,馬上到生產車間去,馬上到實踐去.這不可能啊,不容易的.運籌學當然是另外一個分支,也是很起作用的.
所以有些教材,講聯繫實際可以到高年級.到大學,搞應用數學、經濟數學、生物數學當然聯繫實際了.這個一步一步來,而不能在中學教材裡把這些東西變成雜質搞到教材裡面去.我們以前學的東西都是很純的,有趣的東西.基本東西學到手了,根深蒂固、終身難忘.(這些知識)學到手以後再解決實際問題不就方便了嗎?
代欽(內蒙古師範大學教授):徐先生講到當時學生作業很少,但現在一般的高中裡面,學生的作業太多.如何解釋這種情況?
答:不用做那麼多題目,培養數學人才也好,非數學人才也好,都不用做那麼多題目,浪費.
搞數學的人不用做那麼多題目,大多數人更不應做那麼多題目,這是我的經驗.
王昆揚:我聽了徐先生的報告,我是晚輩了.我們相差不到30歲,但也64了.您說的興趣、志趣、樂趣,雖沒能體會得深,但也很有體會.我學數學也是得益於這些東西.我覺得許多事情沒有是非判斷,唯獨數學,對就對,錯就錯.你也沒法兒給我較真,對不對?我學數學,學到後來,我也喜歡下棋啊,一做數學難題,我覺得比下象棋還有樂趣.這個是天生的,這就是樂趣,有了樂趣才有志趣,對不對啊?上大學的時候,我們大學的招生簡章就是培養科研人才,當時我就想我是不是得研究點什麼,有了興趣,那麼接著就有點志趣.這個志趣正值運動中破滅了,然後花了12年,把青春獻給革命路線.後來還是得到了樂趣,回到北師大,又教了差不多30年書,剛才提到了一些具體問題,這個說起來話就長多了.我非常贊成您的非常深的一些體會;您說數學的「純」,我就喜歡純數學.國外的數學系有的就叫Pure Mathematics,我還是比較喜歡「純」.學純數學的人並不都是那些不會應用的人.
答:謝謝!這是我們數學家的一些共同體會.
王昆揚:2000年,我們討論新課標,當時有那段文字,我不知道刪掉了沒有啊.說汽車在前面走,下了雨,從雨水的反光裡看到車牌號.這跟數學有什麼大的關係啊?這不美啊.這樣數學就不太嚴肅化了.它不是這麼回事兒.數學最大的功能是什麼?您總結的它是聯繫聯繫實際的學科,間接聯繫.我教的是那個本事,教的是素質,推理的、應用的.我不是學半導體,但我學完數學後,對半導體會學得更好.對你的話,我是堅決地擁護。
答:你學好了數學,再去聯繫實際的話,你的實際能力反而強了.
孔凡哲(東北師範大學教授):弗賴登塔爾提出「學數學實際上是學數學化.」,您能不能談一談「數學化」?
答:「數學化」的概念非常廣,這個要解釋起來很多.陳省身先生,西南聯大的,跟華羅庚先生同時代的,幾年前,他說在歐洲留學時,到德國,後來到法國,他說國外的數學家都是強調數學是追求簡單化.Mathematics is for easy.追求簡單,簡單作一個名詞用.例如微積分基本定理就是基本的、核心的東西,是簡單的.如果沒有數學,物理中的力學要表示運動規律,話就說不清楚.數學使物理學簡單化.數學,它實際上是使其它學科簡單化.你們想想看,假如沒有數學的話,沒有微積分的話,非用微分方程表示的力學運動規律就不能實現.數學使別的學科簡單化.簡單化,就是數學化.我提一個RMI(Relationship, Mapping, Inversion)原則,是方法論上的.用的是一個方法模式,模型化的方法.很多例子都可用這個原則解決.我們發現一些很難的問題,如高等微積分,通常用這個原則兩回.還沒有發現需要用三次的.如果一個問題非常難的話,要用
代欽:您寫了一本書,書名是《數學方論》.為什麼不叫論數學方法?
答:這個要說明一下,數學方法不等於數學方法論.數學方法,規律法、演繹論證是數學方法;數學方法論不等於數學方法,它是對方法形成理論,它更高地概括總結一切方法,找出一切方法的共性.
一女老師問:興趣對孩子發展很重要,我有一個困惑,我理解,覺得您產生數學興趣有兩個,一個是獲得「結論—理由」的純的數學;還有一個是何魯和劉燻宇他們的數學科普有關.我認為他們一個是純美,一個是豐富的美.在孩子的發展中,有沒有對孩子影響一個先後的順序.反思的就是在現在中小學教育中,我們應該多給他們一點什麼?純正美現在大家都認可,而科普呢現在孩子都很缺.
答:我認為解放初期,國家曾經出了一些科普的讀物,包括華羅庚都寫科普的書.有一點仿照蘇聯,因為蘇聯的一些專家都寫了科普讀物.早期的蘇聯數學家寫的科普讀物對高中生、大學生都起很大作用,都翻譯成中文.我也見到幾本,後來中國有一些專家寫了一些科普讀物.這個非常好,科普非常重要.我對數學發生興趣,一個是學大代數,學平面幾何,另一個科普讀物對我是很有啟發的.科普讀物對有些數學方面的問題,它的觀念是更高的,它還講究趣味性.比如說我記得劉燻宇講歸納法,他舉了個例.他說火車啊,火車頭一動,由於中間有聯結,第一節動,第二節就動,第二節動,就傳到第三節,第三節傳到第四節,第
張英伯(北京師範大學數學科學學院教授):現在教輔材料很多,科普讀物少.您對現在的精英教育有何建議?對於現在的博士生的培養,可以說是高層次的精英教育.您有什麼建議?
答:我不是很贊成精英教育.因為教育是面向大眾的,Education is for majority,教育有群眾性.美國的教育直到碩士研究生都是通才教育.到博士生才是專才教育.專才教育很重要,不可缺,但是整個教育來講特別是基礎教育來講,還是要面向大眾的.所以我並不是很贊成把少數天才兒童集中到一個學校去培訓.以前,科技大學做過這樣的事,據說事後效益不太好,好多人轉行.所以我不是很贊成精英教育.有一次乘火車到廣州去,同火車有一個人,他是搞體育的.他說體育有競技體育和國民健康體育.對國家來講,競技體育當然要搞,但是作為國家富強來講是靠國民健康體育.他講的話對我有啟發.所以我對精英教育不反對,但不提倡.
關於博士生的成才問題,我鼓勵博士生面向名家原著學習,這樣對發展自己的水平很有利.
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