解決某些數學問題時，把一組數或一個式子看做一個整體進行處理，不僅可以簡化解題過程，而且還能拓寬思路，培養創新意識，體現了數學中的一種重要思想——整體思想。這一思想在整式的乘除運算中體現明顯，在解題中應用較多，要引起重視。今天我們將進行舉例說明整體思想在整式乘除運算中的幾種應用。
應用一：冪的運算中的整體思想
【點評】本題考查了冪的乘方和積的乘方，掌握冪的乘方和積的乘方的運算法則是解答本題關鍵．
應用二：乘法公式運算中的整體思想
例2：已知x+y＝4，xy＝1，求代數式（x+1）（y+1）的值．
【分析】首先根據x+y＝4，xy＝1，求出x+y、xy的值各是多少；然後應用整體思想代入，求出代數式（x+1）（y+1）的值是多少即可．
【解答】解：∵x+y＝4，xy＝1，
∴x+y＝（x+y）﹣2xy
＝4﹣2×1
＝16﹣2
＝14
∴xy＝（xy）＝1＝1，
∴（x+1）（y+1）
＝x+y+xy+1
＝14+1+1
＝16
【點評】此題主要考查了代數式求值問題，要熟練掌握，求代數式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結以下三種：①已知條件不化簡，所給代數式化簡；②已知條件化簡，所給代數式不化簡；③已知條件和所給代數式都要化簡．
例3：已知a﹣b＝3，b﹣c＝2，a+b+c＝1，求ab+bc+ca的值．
【分析】根據完全平方公式求出a+b﹣2ab＝9，b+c﹣2bc＝4，a+c﹣2ac＝25，相加後即可求出答案．
【解答】解：∵a﹣b＝3，b﹣c＝2，
∴a﹣c＝5，
∴兩邊平方後展開得：a+b﹣2ab＝9，b+c﹣2bc＝4，a+c﹣2ac＝25，
∴2（a+b+c）﹣2（ab+bc+ac）＝38，
∵a+b+c＝1，
∴ab+bc+ca＝﹣18．
【點評】本題考查了完全平方公式的應用，主要考查學生能否靈活運用公式進行推理和計算．
例4：已知a+a﹣1＝0，求a+2a+2019的值．
【分析】由已知條件得到a+a＝1，再利用因式分解得到a+2a+2019＝a（a+a）+a+2019，利用整體代入的方法計算得到a+2a+2019＝a+a+2019，然後再利用整體代入的方法計算即可．
【解答】解：因為：a+a﹣1＝0
所以：a+a＝1
所以：a+2a+2019
＝a（a+a）+a+2019
＝a+a+2019
＝1+2019
＝2020．
答：a+2a+2019的值是2020．
【點評】本題考查了因式分解的應用：利用因式分解解決求值問題，利用因式分解解決證明問題，利用因式分解簡化計算問題．
例5：已知（2016﹣a）（2018﹣a）＝2017，求（2016﹣a）+（2018﹣a）的值．
【分析】原式利用完全平方公式化簡，將已知等式代入計算即可求出值．
【解答】解：∵（2016﹣a）（2018﹣a）＝2017，
∴（a﹣2016）（2018﹣a）＝﹣2017，
∴（2016﹣a）+（2018﹣a）
＝（a﹣2016）+（2018﹣a）
＝[（a﹣2016）+（2018﹣a）]﹣2（a﹣2016）（2018﹣a）
＝4﹣2×（﹣2017）
＝4038．
【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
應用三：多項式乘法運算中的整體思想
例6：閱讀理解題例：若x＝123456789×123456786，y＝123456788×123456787，試比較x、y的大小．
解：設123456788＝a，那麼x＝（a+1）（a﹣2）＝a﹣a﹣2
y＝a（a﹣1）＝a﹣a，∵x﹣y＝（a﹣a﹣2）﹣（a﹣a）＝﹣2＜0
∴x＜y．
問題：計算：3.456×2.456×5.456﹣3.4563﹣1.4562．
【分析】根據題中的示例，對所求的算式可以設3.456＝a，則2.456＝a﹣1，5.456＝a+2，1.456＝a﹣2，代入原式化簡求解即可．
【解答】解：設3.456＝a，則2.456＝a﹣1，5.456＝a+2，1.456＝a﹣2，可得：
3.456×2.456×5.456﹣3.456﹣1.456
＝a×（a﹣1）×（a+2）﹣a﹣（a﹣2）
＝a+a﹣2a﹣a﹣a+4a﹣4
＝2a﹣4，
∵a＝3.456，
∴原式＝2a﹣4＝2×3.456﹣4＝2.912．
【點評】本題主要考查學生閱讀理解題意的能力，涉及到整式的混合運算，注意運算過程中正負符號的變化．同學們可以總結並借鑑這種計算方法，有助於以後學習中簡化運算．