本文希望通過一個小問題的探究來啟發小學生的思維，讓小學生明白建立模型探究問題的一般過程，從而幫助小學生在日常的學習中養成愛思考的好習慣。
一、問題提出
學習完了「長方形和正方形的周長和面積」相關知識，在練習題中經常遇到考察周長與面積關係的問題，小學生只知道周長相等的長方形和正方形面積不一定相等，裡面具體的關係是什麼呢，今天帶領小學生探究一番。
二、問題發現
先來幾個具體實例，看看有什麼發現。
例1、長方形的長和寬分別是10釐米和8釐米，正方形的邊長是9釐米。求長方形、正方形的周長和面積。
長方形的周長：（10+8）×2=18×2=36（釐米）；
長方形的面積：10×8=80（平方釐米）；
正方形的周長：9×4=36（釐米）；
正方形的面積：9×9=81（平方釐米）。
例2、長方形的長和寬分別是20釐米和2釐米，正方形的邊長是11釐米。求長方形、正方形的周長和面積。
長方形的周長：（20+2）×2=22×2=44（釐米）；
長方形的面積：20×2=40（平方釐米）；
正方形的周長：11×4=44（釐米）；
正方形的面積：11×11=121（平方釐米）。
例3、長方形的長和寬分別是3.5釐米和2.5釐米，正方形的邊長是3釐米。求長方體、正方體的周長和面積。
長方形的周長：（3.5+2.5）×2=6×2=12（釐米）；
長方形的面積：3.5×2.5=8.75（平方釐米）；
正方形的周長：3×4=12（釐米）；
正方形的面積：3×3=9（平方釐米）。
總結以上三個具體實例，我們發現：
1、在這三個題目中，長方形和正方形的周長都相等；
2、面積大小情況：在例1題中，長方形的面積（80平方釐米）＜正方形的面積（81平方釐米），在例2題中，長方形的面積（40平方釐米）＜正方形的面積（121平方釐米），在例3題中，長方形的面積（8.75平方釐米）＜正方形的面積（9平方釐米）。
於是，我們嘗試總結：周長相等的長方形（非正方形）和正方形，長方形的面積＜正方形的面積。
三、問題驗證
上面，我們總結出了結論，那麼結論正確與否還需要嚴格的證明。下面，小編嘗試給出小學生能夠明白的證明方式。
證明：
設長方形的長和寬分別是a和b，與這個長方形的周長相等的正方形的邊長為k。
所以，2（a+b）=4k，
所以，a+b=2k，
所以，k是a和b的平均數，
所以，一定有這樣一個數x滿足：a=k+x，b=k-x，
所以，求長方形的面積如下計算：
S=ab=（k+x）（k-x）=kk-kx+kx-xx=kk-xx。（本計算過程，小學生可以用分配律來嘗試理解）
而，正當形的面積是邊長×邊長，也就是kk，
所以，長方形的面積就是正方形的面積減去xx這個數，
所以，周長相等時，長方形（非正房形）的面積＜正方形的面積。
四、問題拓展
上面，我們得出結論，周長相等的長方形（非正方形）和正方形，正方形的面積較大。那麼，將這個結論能否推廣到長方體和正方體呢？稜長之和相等的長方體和正方體，它們的表面積又存在什麼關係呢？有興趣的讀者可以自己先嘗試一下，具體的探究咱們明天不見不散哦！