EXCEL軟體 | 中國剩餘定理 | 一次同餘方程組

2021-02-25 數學教學研究

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上一期深入淺出地講述了中國剩餘定理。玻璃球的實例用語言敘述很簡單，數學家提升了它的理論高度，把它歸結為一次同餘方程的求解問題。上一期我還總結出了計算公式。本期在這個公式的基礎上利用EXCEL進行計算，很簡單方便。涉及EXCEL中的內置函數——取整函數 INT( )。我們會把公式埋入EXCEL單元格中。本期其實是教您把數學計算與計算機軟體操作結合起來。以前我關注數學本身更多一些，今天講一講EXCEL軟體這個最常用的軟體，其中的內置公式包括很多極為有用的數學函數，我們應該學會使用。

要解決的問題是：有一堆玻璃球，三個三個數餘P個（ P = 0，1，2），五個五個數餘Q個（Q = 0，1，2，3，4），七個七個數餘R個（R = 0，1，2，3，4，5，6）。問滿足要求的最少玻璃球數是多少?

我設計的EXCEL的界面如下，其中N代表所求玻璃球數量：

前3行是公式本身。第4行是變量。第5行及以後是自變量和因變量的值。上圖中就是上一期所舉例子。如果我在第6行的A、B、C列中再輸入三個餘數，並把在D5，E5和F5中所埋公式拖動到以下的行中，則EXCEL就會自動計算出結果。下面具體分析一下這個EXCEL是怎麼設計出來的。

上圖中，我在EXCEL中選中了D5單元格（左上角有顯示）。D5單元格中顯示的是計算結果，而它所埋藏的公式在圖的最上邊緣的fx後有給出。即

=70*A5+21*B5+15*C5

再看表中k的值「1「（E5單元格）是什麼意思。

上圖中，在E5單元格中埋入了公式

=INT( (D5-1) /105)

它的意思是用D5減去1，再除以105，然後取整（INT為取整內置函數），所得就是後面要從D5中減去105的次數。其中的減1是因為我們必須規定玻璃球的數量不能為0，因為總要有球，哪怕只有一個。減1保證了只要玻璃球的數量大於0，我們用上述公式所求得的N值就一定是符合要求的最小數量。

下面再來看一看值等於88的單元格F5中埋入了什麼公式。

F5中埋藏的公式如下：

=D5-E5*105

說明：上面的「減1」使得三個餘數都為0的情況不是一個球都沒有，而是105個球。我們上面的設計已經考慮到了這一點。具體來說，在三個餘數都為0時，70×A5+21×B5+15×C5的值等於0，但這時的k值（單元格E5的值）等於 INT((0-1)/105，即(-1/105)取整，得 -1，即E5 = -1。這時的E5為負值，從而由所埋公式=D5-E5*105可以看出，減去-1個105就變為加上1個正的105，這樣就把沒有球的情況（三個餘數都為0）排除，使得最小的可能值為105。105是除以3、5、7餘數都為0的最小正整數。

P、Q、R三個餘數一共有3×5×7=105種組合方式。這105種不同方式對應用於1到105這105個正整數。具體見文後。


若把減1變為減7，則不足7個球的情況，即沒有球和只有1、2、3、4、5、6個球的情況都不出現。最小玻璃球數就是7個。這應該是更加符合實際情況的，我們七個七個數球，總應該有7個以上的球吧。

本題只用到了一個內置函數INT即取整函數。EXCEL的內置函數非常多，非常有用。埋公式也是一種非常重要的計算方法。

本公眾號（數學教學研究，sx100sy）於2014年曾經講過一個遊戲，也是涉及

 附表：

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