點到平面的距離

2021-02-19 數學佬
點到平面的距離

故事開始於《不等式選講》中柯西不等式的練習題。

既然是柯西不等式的練習題，當然按照柯西不等式來拼湊。

搞定！So easy

不過，這個題目具有太強烈的視覺衝擊力了，和我們曾經做過的某一類題目極其相似。比如

我們可以將其看成點(a,b)到點(1,-2)的距離，而點(a,b)則是直線x+y=4上的點，

因此，本題實際上是求點(1,-2)到直線x+y=4的距離的平方

於是我們代入公式

無非是從二維變成三維而已。

根據類比的經驗，我們猜：

用這個猜測出來的公式來解一開始提出的問題試試？

解：點(1,-2,3)到平面2x+2y+z-8=0的距離為

哇塞，居然比柯西不等式還簡單方便！

應付考試的數學到此為止，以下我們不妨探討一下這個解法的背後，還有什麼樣的結論。

我們要解決幾個問題。

第一、在空間中，平面的方程是什麼？

第二、在空間中，點到平面的距離公式是什麼？

是不是我們猜測的那個樣子，雖然我的數學直覺告訴我，沒錯，但是需要證明。

哇塞，這個公式似乎很好用哦。平面的方程居然只是簡單的三元一次方程而已。

第二個問題，點到平面的距離公式。

證明完畢，其實很簡單的證明，我相信高中學生多半能看懂。

有了這兩個公式，立體幾何的很多問題其實可以很簡單計算，尤其是求二面角和求距離問題。對嗎？

（1）證：略。

（2）取AD中點F，則

由PA=PD，得PF⊥AD，所以PF⊥面ABCD

由AB⊥面PAD，得AB⊥AD

以F為原點建立坐標系，設AD=2則

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