初中數學之因式分解(一)

大周末的，正好是學習的好時候！

 

今天我們開始講因式分解。

 

以我對初中數學的理解，因式分解學通了，那麼整個中學階段所有的計算你都過關了，這個說法毫不誇張——換句話說，這是決定你計算能力巔峰的一個章節。

 

然而在學校裡，現在這個內容分配的課時和它在整個中學數學中的地位是不相稱的。所以我將用很長很長的篇幅來詳細講解因式分解及其延伸知識。

 

有人會說是不是小題大做？

 

你如果仔細研究一下高考數學的大題，特別是解析幾何和函數的題目，簡直就是各種因式分解的運用，這是直接的聯繫；至於間接聯繫那就不勝枚舉了，甚至到了大學學高等數學的不定積分的時候，還要用因式分解來進行裂項呢。

 

因式分解的方法有很多，最根本的就是：公式法。

 

多項式的乘法是種很有意思的運算。除法當然是它的逆運算，而因式分解也可以看成是一種逆運算。而逆運算的重要性前面已經講過了，這裡就不再講了。

 

你！想！得！美！

逆運算對於計算的檢查來說絕對是神兵利器！用相同的方法檢查是大忌！檢查最好的辦法就是逆運算而不是：

一！題！多！解！

重要的事情別說三遍，三十遍賊老師都能給你念叨過去。

 

不是我上年紀愛嘮叨。有喜歡桌球運動的家長知道，高手的成長過程中，機械地重複一個技術動作是再平常不過的事情，通過成千上萬次地練習，讓肌肉產生記憶，動作不會變形。

 

同樣的，對於重要的理念，在整個系列中我會時不時地提起，確保作為家長的你把這種正確的理念傳遞給孩子。

什麼？就這麼點？

 

對啊，就這麼點，歐幾裡得五個公設還搞出了平面幾何呢。。。

 

所以不要看不起這幾個公式，組合在一起就是千變萬化——當然，這裡還有一些其他的分解技巧。

 

最基本的叫分組分解法。

 

我一直強調的是，任何方法、概念、定義、定理，一定要抓住其本質。所謂的分組分解，就是指待分解的因式經過一定的排列組合之後，可以提取出公因式來。

 

沒錯，敲黑板劃重點：公因式。

 

所以，這確實是因式分解裡最簡單的一種——因為你只要花點笨力氣，就一定能做出來。

 

比如我們先來看因式分解：

只要你有把子力氣，就可以進行多次嘗試：

這不就試出來了？

當然，這不是我們的終極目的，我們希望的是：一次成型！

這個，有難度。

我們知道，數學難就難在你在做題目的時候是不會有這麼明確的指向的。那麼多技巧綜合運用，我怎麼知道該用哪種方法，該怎麼分組？！

 

問題是你連簡單的都沒練好，怎麼可能複雜的能看穿呢？

 

就分組分解法來說，或者再具體一點，就上面這個例子，我們看到這個式子裡有兩個字母，所以如果你把所有的字母都岔開，分成的組各包含一個字母，就像題目本身那樣，這個一定是錯誤的分解方式——一組只包含字母a，一組只包含字母b，公因式？連字母公用都做不到。

 

第二，次數相同的儘量在一起。對於高次的多項式，我們有平方差立方差，立方和等等公式——前提是大家次數是相同的項湊在一起，即所謂的齊次多項式。我們所有的公式裡是沒有高低次冪混搭在一起走波西米亞風的，一定是整整齊齊的。

 

有了這兩條，直接就能把正確的分組情況給寫出來了。

 

我們再來看一個。

按照之前所講的辦法，首先把字母岔開，然後齊次項。。。

等等，這個就是齊次多項式啊？！

這就是傳說中的稍微變一變就束手無策？

齊次多項式不假，這個時候我們還有個對稱性的想法，總是和考慮的嘛：

原式

剩下的就好辦了。

最後再來一個帶著化歸的分組分解：

既然叫分組分解，那麼這個時候又該怎麼辦呢？

這個時候好像前面講的又用不上了。。。

數學永遠就是這麼尷尬。那這個時候該怎麼辦？

想想自己手上有什麼！（字數太多打感嘆號太累了）

既然這個多項式一個減號都沒有，那麼我們的公式可用範圍立馬縮小了；而且這個多項式是二次的，那麼所有立方的公式也用不了了；於是只剩下和的平方的公式了。

是不是很合理？

然而和的平方的公式只有三項啊！而且只有兩個字母啊！

那就先挑出三項只有兩個字母滿足和的平方的公式再說啊，我們把式子改寫成：

先把前三項用起來：

我們發現，中間兩項又有公因式了。什麼？為什麼不用最後兩項？

不對稱，看了難受。。。

這個時候，答案呼之欲出了，把x+y當成一個整體之後，這又可以走一波和的平方的公式了！

家長在指導分組分解的時候，一定要注意幾個原則：字母岔開、對稱、手上的工具！

不要光說多試試，再看看。要明確告訴孩子怎麼試，怎麼看。哪怕是沒有頭緒地進行嘗試，也要讓孩子有順序地試，就像

的分解過程那樣嘗試，保留所有嘗試的記錄，不要重複嘗試，也不要遺漏。

賊老師，怎麼又是不重複，不遺漏？

你，上道了。