期權定價理論與方法綜述
期權定價理論是現代金融學基礎之一。在對金融衍生品研究中，期權定價的模型與方法是最重要、應用最廣泛、難度最大的一種。1973年，被譽為「華爾街第二次革命」 B-S-M期權定價模型正式提出，隨之成為現代期權定價研究的基石。這與現代期權在1973年的上市一起，標誌著金融衍生品發展的關鍵轉折。現代期權定價的理論和方法在國外經過三十多年的發展已經日趨成熟。隨著滬深300股指期權的積極推進，國內金融市場或將迎來期權這一全新金融工具。因此，國內期權定價的研究會更具發展前景和現實意義。
期權最重要的用途之一是管理風險，要對風險進行有效的管理，就必須對期權進行正確的估價。期權定價理論和方法的產生和完善對於推動期權市場的發展起到了巨大的作用。期權定價研究得出的基本原理和方法被廣泛應用於宏觀、微觀的經濟和管理問題的分析和決策，其中在財務方面的應用最為集中，以及在投資決策等方面都有廣泛的應用。
本文主要是對期權定價的綜述，內容包括兩個方面：
1 期權定價理論模型
1.1 B-S-M模型之前的期權定價理論
1.2 B-S-M模型
1.3 B-S-M模型之後的期權定價理論
2 期權定價數值方法
2.1 樹形方法
2.2 蒙特卡洛模擬
2.3 有限差分方法
2.4 新興方法：神經網絡
2.5 非完全市場下的期權定價方法
1. 期權定價理論模型的發展
1.1. B-S-M模型之前的期權定價理論
歷史上的期權交易可以追溯到古希臘時期，並於17世紀荷蘭「鬱金香投機泡沫」和18世紀美國農產品交易中相繼出現。期權定價的理論模型的歷史卻比較短。期權定價理論的研究始於1900年，由法國數學家巴舍利耶（L.Bachelier）在博士論文《投機理論》中提出。他首次引入了對布朗運動的數學描述，並認為股票價格變化過程就是一個無漂移的標準算術布朗運動。這一發現沉寂了五十年後才被金融界所接受，被稱為「隨機遊走」或「酒鬼亂步」。巴舍利耶在此基礎上，通過高斯概率密度函數將布朗運動和熱傳導方程聯繫起來，得出到期日看漲期權的期望值公式：
其中S是股票價格，K是期權執行價格， 是股票價格遵循的布朗運動的方差，T是期權期限， 與 是標準正態分布的分布函數和密度函數。
這一模型的主要缺陷是絕對布朗運動允許股票價格為負，並可推導出股票價格變化期望為零的結論。這與現實不符，也未考慮資金的時間價值，在提出後幾十年時間裡並沒有得到重視。但其蘊含的隨機遊走思想與引入布朗運動描述股票價格變動，都具有開創性意義。巴舍利耶的期權定價理論標誌著金融數學的誕生。
上世紀四十年代，概率論和隨機過程的發展為期權定價理論進一步奠定了數學基礎，特別是日本數學家伊藤清建立了Ito隨機微分方程和Ito過程。這成為金融領域中的基本數學工具，在期權定價領域非常重要。在巴舍利耶之後的半個多世紀，期權定價理論的發展集中在特定的計量模型上。卡索夫（S.Kassouf）是其中最傑出的一位，他建立了以下公式估計看漲期權價格V：
( 是待估參數)
卡索夫利用到期時間、分紅及其它變量估計參數
在學術界對巴舍利耶的再發現拖延了半個多世紀後，曾在二戰中協助馮•諾依曼發明第一臺計算機的美國統計學家薩維奇(L.Savage)於1955年向包括薩繆爾森(P.Samuelson)在內的經濟學家寄出明信片，推薦巴舍利耶的博士論文中的研究成果。在薩繆爾森極力推薦和傳播下，巴舍利耶的期權定價理論吸引了眾多頂尖人才的研究，並最終導致了B-S-M模型這一承前啟後集大成者的誕生。
1961年，斯普裡克爾(C.Sprenkle)假定股票價格服從具有固定均值和方差的對數正態分布，這樣就消除了巴舍利耶公式中股票價格為負的可能性。同時允許正向漂移，考慮了利率和風險厭惡。但該模型仍然忽略了資金的時間價值。斯普裡克爾的看漲期權定價公式為：
其中 是股票的預期收益率， 則是風險厭惡的度量。
1964年，博內斯(J.Boness)提出了類似的模型，同時考慮了貨幣的時間價值。他考慮了風險保險的重要性，認為投資者「不在乎風險」。他的推導仍需建立在風險中性的假設基礎上，否則他將推導出B-S-M模型。博內斯的期權定價模型為：
1965年，薩繆爾森提出一個歐式看張期權定價模型。他考慮到因風險特性的差異，期權和股票的預期收益率並不一致，認為期權應該有一個更高的平均收益率 。他提出的定價模型為：
對比易得，博內斯模型是薩繆爾森模型的特例(當 = )
1969年，薩繆爾森和莫頓(R.Merton)使用一種資產組合選擇的簡單均衡模型檢驗期權定價理論，允許內生的股票和期權的預期收益。他們證明了期權問題可以用函數形式的「公共概率」項來表示，這種函數形式與用真實概率所表述的問題一樣。採用這種方式，調整過的股票預期收益率和期權預期收益率是一樣的。這一方法實際上體現了現在期權定價裡的風險中性思想。
1973年B-S-M模型之前的期權定價理論都缺乏實用價值，被稱為「不完全模式」。巴舍利耶模型的主要缺點是絕對布朗運動假設帶來股票為負的可能性，這與公司責任的有限性矛盾。卡索夫的計量模型缺乏微觀基礎。斯普裡克爾和薩繆爾森的公式裡都有兩個主觀變量，難以實證。博內斯與B-S-M模型的一步之遙在於其對風險中性是假定的。但期權定價理論的發展是一脈相承的，他們的工作為隨後的B-S-M模型奠定了基礎。
1.2. B-S-M模型
1973年，美國芝加哥大學教授布萊克(F.Black)和舒爾斯(M.Scholes)發表《期權與公司負債定價》一文，提出了B-S-M模型。一個月後，芝加哥期權交易所正式掛牌第一個標準化期權合約。德州儀器隨即推出固化了B-S-M公式的期權計算器，並迅速得以推廣。同年麻省理工學院的莫頓(R.C. Merton)獨立的提出一個更為一般化的模型，並提出了一系列的改進和完善。B-S-M模型就以此迅速成為一場裡程碑式的革命，影響深遠。不僅為創立者贏得了1997年諾貝爾經濟學獎的殊榮，也在期權定價實踐中佔據著主導地位，至今無可取代。
B-S-M模型給出了歐式股票期權的定價公式，但其模型建立在嚴格的假設前提之上，包含以下六點：
1. 股票價格的隨機過程-遵從幾何布朗運動： ；
是股票價格， 為股票的期望收益率， 則是股價波動率， 是布朗運動(又稱維納過程)。由該方程可知著股價在短時期內的變動來源於兩個方面：一是單位時間內已知的一個收益率變化 ，被稱為漂移率，可以理解為總體的變化趨勢。二是隨機波動項，即 ，是隨機波動使得股票價格變動偏離總體趨勢的部分。
2. 股票在期權有效期內無紅利及其它現金收益；
聯繫第一點，可知股價的變動是連續而均勻的，不存在突然的跳躍。
3. 市場是無摩擦的：不存在稅收和交易費用；
聯繫第二點，可知投資者的收益僅來源於價格的變動，而沒有其他影響因素。
4. 允許賣空股票，且股票是完全可分的；
5. 無風險利率為常數，投資者能以此利率貸入資金；
6. 不存在無風險套利機會。
B-S-M模型給期權定價的基本思想是無套利複製。股票價格與期權價格都受同一種不確定性的影響，兩者遵循相同的幾何布朗運動，只是對隨機因素變化的反應程度不同。通過構造一個包含恰當數量標的股票和期權的投資組合，可以消除不確定性，構成一個無風險的資產組合。在一個無套利市場中，該資產組合的收益必定等於無風險利率。由此可以得到期權價格的B-S-M微分方程：
其中f是期權價格，t為某時刻，S是股票價格， 則是股價波動率，r是無風險利率。再結合歐式期權的邊界條件：
（看漲期權）
（看跌期權）
K是期權的執行價格，t取值為期權到期日T。可以得到B-S-M微分方程的解析解，這就是B-S-M模型的期權定價公式：
（看漲期權）
（看跌期權）
其中：
是標準正態分布的累積概率分布函數， 是0時刻的股價。
B-S-M模型微分方程和期權定價公式的特點之一是：不再有主觀變量。因為消去了漂移項-股票的期望收益率 ，不包含任何反映投資者風險偏好的變量，所以無需對風險中性進行假定。期權的合理價格與投資者的風險偏好無關，風險中性定價成為衍生品定價中的重要方法。這和直覺有悖，對這一點的理論證明涉及後來金融研究中的測度論、鞅和在金融衍生品中極其重要的吉爾薩諾(Girsanov)定理。
在B-S-M模型中，期權價格所依賴的變量都是可觀察得到的：股價、執行價格、到期期限、無風險利率、和股價的波動率(可由歷史數據估計)，使得B-S-M模型使用非常方便。
B-S-M微分方程也適用於其它金融衍生品，而不僅僅限於期權。只是在不同的邊界條件下，數學上可能找不到衍生品價格對應的解析解，需要用數值方法來求解其價格。B-S-M模型在其他經濟領域也有廣泛的應用，比如公司資產結構問題、可轉化債定價等方面。
對B-S-M模型的檢驗和評價方面：
1977年伽萊(Galai)利用芝加哥期權交易所的股票期權的數據，首次對B-S-M模型進行了檢驗。此後，不少學者在這方面做出了有益的探索。其中比較有影響的代表人物有特裡皮(Trippi)､奇拉斯(Chiras)､曼納斯特(Manuster)等。綜合起來，這些檢驗得到一些普遍性的看法：
1. 模型對平值期權的估價令人滿意，特別是對剩餘有效期限超過兩月，且不支付紅利者效果尤佳。
2. 對於高度實值或虛值的期權，模型的定價有較大偏差，會高估虛值期權而低估實值期權。
3. 對臨近到期日的期權的估價存在較大誤差。
4. 離散度過高或過低的情況下，定價有一定誤差。
總體而言，雖然存在誤差，B-S-M模型仍是相當準確的，是具有較強實用價值的定價模型。B-S-M之後提出的定價模型大多是在某個特定方面對其改進，模型的參數和複雜度遞增，定價效率和精度卻沒有實質性的提高，常常無法得到明確和應用性強的結論。正因如此，B-S-M模型在期權定價中的基礎性地位一直無可替代。
1.3. B-S-M模型之後的期權定價理論
B-S-M模型為金融衍生品市場的發展鋪平了道路，在實踐中也得到充分的檢驗。但局限性在於其嚴格的前提假設和實際金融市場的不符。這削弱了其定價的效率、精度和適用性。而後的期權定價理論在B-S-M模型基礎上做了大量的改進，主線有兩條：一、放鬆其前提假設以符合實際；二、推廣到更複雜的衍生品定價：
1. 標的資產價格的隨機過程假定的放鬆是最主要的一方面。標的資產價格並不完全是一個幾何布朗運動，對數正態分布也不能完全刻畫資產價格。針對現實中的資產回報的非對稱、尖峰厚尾、跳躍、波動率不恆定等情況，期權定價理論不斷提出新的改進。
2. 對市場無摩擦條件的放鬆，考慮交易成本下的期權定價。
3. 考慮資產紅利時和無風險利率不恆定時的期權定價。
4. 非歐式期權定價：美式期權、奇異期權的定價更加複雜。
5. 非股票期權：利率期權、外匯期權等標的物不是股票的情況。
6. 非完全金融市場下的期權定價：B-S-M模型的內涵是無套利複製定價思想，在非完全市場中期權無法完全複製，價格是一個區間而非確定的值。
這些內容就構成了B-S-M模型提出後迄今的期權定價理論的進展，限於篇幅，主要簡述標的資產價格隨機過程條件的放鬆。這點的改進主要有兩個方向：跳躍擴散和隨機波動率。
1.3.1. 跳躍-擴散模型(Jump-Diffusion)：
B-S-M模型假設股價是連續光滑變動的，服從對數正態分布。但宏觀和微觀的各類突發事件使股價存在短時間內的大幅變動，比如戰爭、政策的制定、市場崩潰及其它各類「黑天鵝事件」都能給股價帶來巨大的衝擊。這種衝擊帶來的離散間斷的股價跳躍往往幅度過大、頻率過多，幾何布朗運動無法描述和撲捉這些現象。莫頓(R. Merton)1976年放寬了B-S-M模型對股價連續變動的假設，引入了一個泊松運動與幾何布朗運動結合來描述股價變動同時存在連續和非連續的情況。這類模型被稱為跳躍-擴散模型。股價的複合運動的隨機過程為：
其中 是股票瞬時期望收益率， 是泊松分布的強度， 是平均跳躍幅度， 是泊松運動。隨機跳躍的加入擴展了標的資產價格所遵循的隨機過程，在此基礎上莫頓改進了B-S-M模型的定價公式並得到解析解。但莫頓假設隨機跳躍是非系統風險，這在簡化模型的同時也構成該模型的缺陷。考克斯(J.Cox)、羅斯(S. A. Ross)、魯賓斯坦（M.Rubinstein）對跳躍-擴散模型提出進一步的改進和完善。
值得一提的是莫頓在1973年將B-S-M模型擴展到考慮紅利和隨機利率的情況，這使得期權定價更加貼近市場實際。只是對股票期權定價而言，股利和無風險利率影響甚微。這點被後來的斯科特(L.Scott)於1997年證明。
1.3.2. 隨機波動率模型(SV)
在B-S-M模型中波動率是一個由標的資產決定的常數，這點被實證否定。因為市場數據顯示的隱含波動率往往隨著執行價格的不同而變化，呈現「波動率微笑」和「波動率傾斜」。隱含波動率也會隨著期權到期時間的不同而變化，呈現「波動率期限結構」。這說明波動率本身就是一個隨機變量。
最早考慮隨機波動率因素的期權定價模型是CEV模型，由考克斯和羅斯在1976年提出，他們推導了收益率方差與股價成比例的情況下期權的定價。但該模型嚴格假定波動率是股價的函數，認為股價的高低直接決定波動率的大小。這未考慮波動率與股價會受同一不確定性影響。赫爾(J.Hull)、懷特(A.White)、斯科特(L.Scott)於1987年研究了波動率隨機擴散條件下的期權定價問題。在前提假設：(1)波動率風險溢價為零 (2)股票價格和波動率的風險源不相關的基礎上，根據風險中性定價思想，推導出實質相同的隨機波動率期權定價模型。這樣的假設僅僅是方便模型的推導，並不符合實際。
赫斯頓(H.Heston)之前的隨機波動率模型往往無法得出解析解，對波動率的假設也與實際偏差較大。赫斯頓在赫爾(J.Hull)等人的基礎上，假定波動率平方服從幾何布朗運動。以波動率風險溢價不為零及波動率與股價相關係數不為零的前提下推導出真正具有實際意義的隨機波動率模型，並且得到期權的解析解。赫斯頓假定股票價格的隨機過程為：
其中 ， ， 是方程回歸均值的速度， 是方程的長期均值， 是股票收益率方差的波動率， 是股價布朗運動， 是 的布朗運動。由無套利複製思想，可得隨機波動率期權價格應滿足的偏微分方程：
其中 ，即波動率的風險溢價與資產收益率方差成正比。該微分方程結合邊界條件，可以得出隨機波動率期權價格的解析解。
赫斯頓的隨機波動率模型是期權定價理論發展中的一次重大突破，考慮了隨機波動率的期權定價模型在理論上會提高定價的精度，實證上也證明了這一點。
1.3.3. 考慮交易成本的期權定價理論
B-S-M模型的一個前提假定是交易成本為零，可以進行連續動態調整的套期保值。事實上交易成本總是存在的，這使合理的期權價格是一個區間而非一個數值。不僅如此，交易成本的存在將無法保證連續動態組合調整和無風險資產組合的存在，從而在根本上威脅到風險中性定價的基礎。廈門大學的鄭振龍教授對交易成本的影響有進一步的總結：
1. 規模效應和交易成本差異化。交易規模越大，交易成本越低。不同投資者的交易成本不同。
2. 交易成本對保值者而言是一種沉沒成本，必須扣除，這樣多頭的價值低於B-S-M模型理論價值，而空頭相反。
考慮交易模型的期權定價主要是基於不同的複製策略和對衝技術。利蘭(H.E.Leland)第一個提出了考慮交易成本的期權定價。莫頓提出有交易成本的二項式期權定價模型。戴維斯(M.Davis)和諾曼(A.Norman)提出了考慮效用函數的有交易成本的期權定價。總體來說，放鬆交易成本為零的假定的模型主要有兩種思路：一是赫格(T.Hoggard)、威利(A.Whalley)和威爾莫特(P.Wilmott)提出的H-W-W模型。仍基於B-S-M模型的無套利和風險中性定價框架，但套期保值策略改為定期離散調整，從而得到一個非線性偏微分方程；二是赫傑斯(S.Hodges)、紐伯格(A.Neuberger)和戴維斯(M.Davis)等人提出的效用無差異定價方法，他們認為交易成本的存在已經動搖了風險中性的定價基礎，因此必須重新引入投資者風險偏好和效用函數，但尚未得到易於應用的結論。
期權定價理論發展在多個方面不斷深入。比如戈曼(M.Garman)和柯爾哈根(S.Kohlagen)以B-S-M模型為基礎，提出外匯期權的G-K定價模型。布萊克提出的針對期貨期權的Black定價模型。對於不完全市場下的期權定價採用的最優化套期保值、均值方差套期保值、超套期保值等方法。此外，綜合性的改進也是一個方向，例如貝茨(D.Bates)將隨機波動率和隨機跳躍結合起來推導出的SVJ模型。而美式期權的解析解問題還沒有取得突破性進展，主要採取數值方法去求解。
2. 期權定價數值方法
期權定價理論和實踐中常常無法或難以得到解析解，這時常採用各類數值方法來為期權定價。
2.1. 樹形方法
樹形方法本質上是動態規劃方法的一種，包括二叉樹、三叉樹及多叉樹等。最重要的當屬由考克斯(J.Cox)、羅斯(S. A. Ross)、魯賓斯坦（M.Rubinstein）於1979年首次提出的二叉樹方法。二叉樹方法實際上是B-S-M模型的離散版本。研究者最初的動機是以該模型為基礎，為推導B-S-M模型提供一種簡單直觀的方法。隨著研究的深入，二叉樹不僅僅是解釋和理解B-S-M模型的輔助工具，它成為期權定價方法中為複雜期權(如美式期權和奇異期權)定價的基本手段。
基本思路：
二叉樹方法用離散的模型模擬資產價格的連續運動，將期權的期限分為許多很小的時間區間，在每一個區間裡標的資產價格運動只有兩個可能的方向：上漲或者下跌。利用資產收益率的期望和方差的匹配來確定相關參數，然後從二叉樹的末端開始倒推期權價格。隨著步數的增加，二叉樹期權定價模型的分布函數就越來越趨向於正態分布，這趨於和B-S-M模型一致。二叉樹的兩個特點：可細分時間區間和離散化的樹形結構倒推價格，這兩點使得二叉樹方法可以處理更為複雜的期權。比如美式期權在二叉樹某個節點期權價格是以下兩個價格之中的較大值：一個是立即執行的價格；一個是二叉樹倒推到此點的價格。
優點：簡單直觀、能給美式等複雜期權定價。因此現已成為全世界各大期權交易所的主要定價標準之一。
缺點：精度取決於計算的步數，計算精度不高，計算效率較低。
隨後有學者提出了類似的三叉樹方法，這種方法討論了二叉樹方法的缺陷並進行修正，因此比二叉樹方法更精確。三叉樹方法及其改進的方法中引入了更多的參數和自適應網絡模型思想。自適應的細化樹形和更大的維數自由帶來更有效的定價。
2.2. 蒙特卡洛模擬
蒙特卡洛方法的實質是模擬標的資產價格的隨機運動，預測期權的平均回報，並由此得到期權價格的一個概率解。這是求解期權價格的典型模擬方法。
基本思路: 在已知標的資產價格分布函數的前提下，把期權的有效期限分為若干個小的時間間隔。以計算機為工具，模擬每個時間間隔資產價格的變動和可能路徑，得到一個期權的最終價值，作為終值集合中的一個隨機樣本。如此重複大量模擬（上千次），將隨機樣本集合進行簡單的算術平均就是期權的預期收益。由無套利定價原則，以無風險利率折現預期收益即當前時刻期權的價格：
其中，P表示期權的價格， r表示無風險利率， 為T時刻期權的預期收益。
優點：能處理資產預期收益率和波動率函數複雜的情況，且模擬運算的時間隨變量個數的增加呈線性增長，相對效率較高。使用不需要較高的數學準備，也無需太多的工作就可以轉化模型。
缺點：只能用於歐式期權，不能用於可提前執行合約的美式期權定價。
精度取決於模擬運算次數，精度越高計算速度越慢。
2.3. 有限差分方法
有限差分方法是偏微分方程數值解的一種最常用技術。基本思路是：利用差分逼近，將期權價格所滿足的偏微分方程轉化為一組差分方程,再通過迭代求解。當今計算機非常普及，對於一些複雜的期權定價問題，此方法顯示出很多優越性。隱式有限差分法的數值解具有較高可靠性，但待求解的方程數比較多，顯式有限差分法對此進行了簡化，更直接方便，可它的解有可能不收斂於偏微分方程的解。總的來看, 有限差分方法的基本思想與樹形方法相似, 既可以用來求解歐式期權的價格又可以用來求解美式期權的價格。可證明顯式有限差分法和三叉樹法等價，隱式有限差分法和多叉樹等價。
需要考慮的問題：一、收斂性問題-差分方程的解是否收斂到偏微分方程的解。二、穩定性問題-用計算機進行差分方程的求解時，難免在每次運行中引入捨入誤差，這些捨入誤差能否得到控制，有沒有可能由於微小的捨入誤差而引起解的完全失真。
缺點：很難用於衍生產品與標的變量歷史價格有關的情況。對於多標的變量的情形，計算時間會大大增加，較難適用。
2.4. 新興方法：神經網絡
人工神經網絡(ANN)是一種非線性非參數模型, 由大量處理單元即神經元（Neurons）互相連接而成的網絡，通過模擬人腦的基本特性，對人腦進行抽象、簡化和模擬的一種工程系統。具有高速計算和學習的特性，在複雜系統的建模問題上表現出它的優越性,在預測評價等方面都取得了很好的應用效果。1943年，心理學家McCulloch W.和數理邏輯學家Pitts W.首次提出神經網絡，至今理論和實踐已經獲得了巨大進步。對期權定價而言，神經網絡可以記憶和學習之前的模擬或定價過程，提高效率，也可以結合遺傳算法和小波分析等技術，以及人工智慧、機器學習、並行計算等前沿領域的新型技術和研究成果。
B-S-M模型及基於它的不同改進都屬於參數化模型，其不足是前提假設和參數設置時與實際的差異，這會帶來期權定價的誤差並削弱其適用性。例如標的資產價格變動的假定為布朗運動這點，於1988 年由Lo A.和MachinlaryA.通過實證數據分析所否定。為克服參數化模型的不足，在時變而複雜的非線性金融市場中更好的為期權定價，1994年Hutchinson J.，Lo A.和Poggio T.最早將神經網絡模型引入到歐式期權的定價，發現這種定價的優勢在於不必依賴於限制性參數的假設，該方法可以自適應結構的變化，適用於各種衍生工具。他們不僅對被估計模型的模擬數據訓練神經網絡，還使用該方法對樣本以外的對衝期權定價，發現神經網絡比B-S-M模型表現更出色，在性能和效果上得到了很好的結論。
神經網絡的基本原理：模擬生物神經網絡系統，其信息的處理功能是由網路單元的輸入輸出特性、網絡拓撲結構所決定的。對問題的求解方式不同於傳統方法，是通過訓練來解答問題。右圖是一個典型神經網絡連接模型。由輸入層、隱含層和輸出層三層神經元組成。相鄰的兩層之間的神經元都有一條帶權值的弧線連接。為使神經網絡求解問題，需要對其訓練，這也稱為網絡學習。學習過程中，每條連接弧線動態的調節自己的權值，使得實際輸出和期望輸出中的誤差減小。神經網絡是一種非線性映射關係，各變量之間的關係隱含於網絡當中。神經網絡的學習算法很多，比如反向傳播算法、Hopfield算法等。在非線性預測中最常用的是B-P算法
神經元結構：神經元是神經網絡的基本計算單位。一般是一個多輸入單輸出的非線性單元。右圖顯示了一個完整的神經元的結構。其中 是輸入信息， 是各弧的權值，h是閥值，F是激活函數， 是反饋信息， 是輸出信息。
人工神經網絡通過模擬神經元算法可以建立一個市場數據驅動的非線性模型並獲得比參數模型更好的定價效果，這使期權定價更客觀、更準確，從而為投資決策提供科學的定價依據。但它也有一些不足：（1）期權定價影響因素及樣本數量還須改進。未來研究可採用實驗設計或統計方法，找到其他影響因素，以更大的提高BP神經網絡模型的精確度。（2）神經網絡模型的隱含層神經元數目很難根據實際模型合理確定，這很可能會導致神經網絡預測及自學習產生誤差，使結果偏差較大，應結合實際，開展組合神經網絡期權定價方法的深入研究。
2.5. 非完全市場下的期權定價方法
非完全市場不存在無套利複製的基礎，因而建立在完全市場下的傳統的期權定價方法就不再適用，比如B-S-M期權定價、二叉樹和有限差分等方法就無法用於非完全市場下的期權定價。因為金融市場的不完全，期權的價格不是一個確定的值而是一個合理的區間。對於不完全市場下的期權定價的理論包括：最優化套期保值、均值方差套期保值、超套期保值。此時期權的定價的數值方法包括：區間定價、確定性套利、E-套利定價方法等方法。
數值計算方法各有其優缺點。蒙特卡羅模擬方法的優點在於能處理較複雜的情況且計算的相對效率較高，但由於該方法是由初始時刻的期權值推導未來時刻的期權值，它只能用於歐式期權的計算，而適於可以提前執行合約的美式期權。二叉樹方法和有限差分方法是由期權的未來值回溯期權的初始值，因此可以用於美式期權的計算，但這兩種方法不僅計算量大、計算效率低，而且難以計算期權依賴於狀態變量歷史路徑的複雜情況。就二者之間的優劣比較而言，Geske-Shastrid的研究結果進一步表明，二叉樹方法更適用於計算少量期權的價值,而從事大量期權價值計算時有限差分方法更有效率。在非完全市場情況下，衍生資產價格不是一個確定的值，而是一個區間。在完全金融市場情況下，這個區間就退化為一個點。確定性套利定價方法、區間定價方法和E-套利定價方法都既適用於完全金融市場，又適用於非完全的金融市場。數學的理論和工具被不斷的應用到期權定價，比如常見倒向隨機微分方程、快速傅立葉變換等。
期權定價中另外一個重要問題是定價模型中的市場參數估計。在期權定價模型中擴散係數、波動率、跳躍強度等的獲取都是通過對市場數據的分析得出的，一個期權定價的準確性離不開對參數的估計，因而參數估計也是期權定價中的一個重要環節。除了傳統的參數估計方法以外，引入輔助模型或半參數方法、基於貝葉斯原理的參數後驗分布分析等方法都被應用到期權模型的參數估計。
3. 小結
期權為代表的金融衍生品提高了國際金融市場的效率和流動性，擴展了市場的廣度和深度，使得風險的轉移和對衝更加便捷。另一方面也給市場帶來全新的風險，並增強其脆弱性。這給市場監管和投資者都帶來全新的挑戰和機遇。目前期權理論研究的重點在於兩個方向：一個是如何構造出新的期權，以滿足不斷變化的市場投資需要；另一個是如何確定這些日趨複雜的期權的價值，即給期權定價的問題。而後者一直是研究的重點。
標準化的場內期權交易僅有三十多年歷史，但因期權具有良好的規避風險、風險投資、價值發現的功能，表現出靈活性和多樣性的特點，使得期權成為最具活力的金融衍生產品，得到了迅速的發展和廣泛的應用。期權的研究從先驅巴舍利耶到上世紀六十年代真正進入學者的視野，從B-S-M模型到神經網絡等各類微分方程、動態規劃和模擬，這些成果被廣泛的運用於期權定價與經濟和財務領域的研究。
無論是在連續時間模型框架下，還是在離散時間模型框架下；無論在完全市場假設下，還是在非完全市場假設下；無論是對歐式期權、美式期權、亞式期權的定價，還是對其它複雜的衍生資產的定價，期權定價所蘊含的無套利定價原則和風險中性定價都成為普遍適用的基本原則。有關各類期權定價的理論和方法還在不斷的探討和發展，數學的理論和方法、計算機的新技術、乃至行為和心理學的研究成果都被迅速和廣泛的應用到期權定價這個領域。從諾貝爾經濟學獎到每秒價值億萬的衍生品交易，期權定價這個領域就如期權本身，年輕而充滿活力，必定會吸引更多的研究和關注，獲得更大的發展。
中信建投期貨研究發展部
（責任編輯：郝鵬飛 ）
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