【勾股定理】（畢達哥拉斯定理）
左圖中的直角三角形ABC，
a 2 +b 2 =c 2
成立。即，斜邊以外的2邊的平方和=斜邊的平方是成立的。
畢達哥拉斯出身於希臘的薩摩斯島。有一天，他漫步在薩摩斯島的赫拉神廟，他的腳下鋪滿了下面這種紋理的地磚：
地磚的紋理其實很簡單。畢達哥拉斯發現，一邊為a的正方形面積（a 2 ），其4倍的一半（也就是2倍），正好等於灰色部分的正方形面積（見下圖）。
即，
這就是等腰直角三角形的勾股定理！
畢達哥拉斯果然名不虛傳。
如果地磚上的三角形是一般的直角三角形，可以用下圖表示：
請大家參照這張圖，試著證明一下普通直角三角形的勾股定理吧。
注意，考慮面積是關鍵
勾股定理的證明方法並非只有一個，據說有100多種。我挑2個給大家簡單介紹一下吧：一個是歐幾裡得法，另一個是愛因斯坦法。
通過這些證明，我希望大家能明白，通往真理的道路並非只有一條，希望大家能親身感受到邏輯的「強大」力量，即使選擇的道路或方法不同，只要你的思路合乎邏輯，最終一定能發現真理。
證明1（歐幾裡得法）
首先，以直角三角形ABC的3條邊為邊，畫出3個正方形。接下來，畫直線CG，使BD∥CG。這些只是準備，證明過程尚未開始。
∠ABE=∠ABC+90°
∠DBC=∠ABC+90°
∴∠ABE=∠DBC……①
因為□AHDB和□BEKC是正方形，
AB=DB……②
BE=BC……③
根據①～③，2邊的夾角相等，因此，
△ABE≌△DBC
由於全等三角形的面積也相等，因此，
S△ABE=S△DBC……④
AK∥BE，所以根據等積變形可以得到，
S△ABE=S△CBE……⑤
同樣，BD∥CG，因此，
S△DBC=S△DBF……⑥
根據④～⑥，
S△CBE=S△DBF
將2邊乘以2（直角三角形×2=長方形）
S□CBEK=S□GDBF
同上，
S□ACIJ=S□HGFA
綜上所述，
因此，
a 2 +b 2 =c 2
搞定！雖然步驟有點兒多，但是順利得出結論啦。證明過程中用到了許多英文字母，大家都看花眼了吧？該證明的關鍵也是面積，這裡使用了三角形的全等和等積變形這2個知識點。
證明2（愛因斯坦法）
作為證明前的準備，先從C點向AB畫垂線CP。
在△ABC中，
∠CAP+∠CBP=90°……①
在△ACP中，
∠CAP+∠PCA=90°……②
①-②得到，
∠CBP-∠PCA=0
∠CBP=∠PCA……③
接下來是△ABC和△CBP，根據上述方法可以得出，
∠CAP=∠PCB……④
通過③、④得到2角相等，所以，
△ABC∽△ACP
△ABC∽△CBP
由於對應邊的比是相等的，所以根據△ABC∽△ACP可以得出，
⑤+⑥得到，
哇！相似圖形的比例式果然很強大啊！
著名的直角三角形
著名的直角三角形是做成三角尺的2種直角三角形。這2種直角三角形的邊長比例堪稱完美。接下來，讓我們用勾股定理來證明一下吧。
（ⅰ）等腰直角三角形
根據勾股定理，
a＞0，c＞0，所以，
因此，
綜上所述，等腰直角三角形的邊的比，如下圖所示。
（ⅱ）30°和60°的直角三角形
同樣根據勾股定理，
a 2 +b 2 =c 2 ……①
另外，把2個這樣的直角三角形排列在一起，如下圖，
上圖中，所有的角度都是60°，所以這是個正三角形，因為3邊長度相等，所以，
c=2a……②
把②代入①，
因為a＞0，c＞0，所以，
根據②、③得到，
綜上所述，在30°和60°的直角三角形中，各邊的比如下圖所示：
最重要的是，無論三角形是變大還是縮小，各邊的比是固定的，不會改變。
這2個直角三角形的3邊之比很容易記住。無論你看到什麼樣的直角三角形，只要直角以外的角度相同，就說明它們彼此相似（2角相等），所以3邊之間的比也是固定的。學習的三角函數對此會展開深入研究。