123，如何用待定係數法求二次函數解析式，掌握好技巧就非常簡單

2020-08-27 同心圓數學世界

如何用待定係數法求二次函數解析式？只需要記住下面的1、2、3

1——如果二次函數解析式中只有一個字母,只需要找到函數圖象上一個點的坐標代入即可；

2——如果二次函數解析式中有兩個字母,則需要找到函數圖象上兩個點的坐標代入即可；

3——如果二次函數解析式中有三個字母,通常需要找到函數圖象上三個點的坐標代入即可.

當然，求的過程中還要善於使用交點式、頂點式和一般式的特點，才能讓問題變得簡單。

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試題文字內容

專題(四)　求二次函數的解析式

類型1　已知二次函數解析式,確定各項的係數

如果二次函數解析式中只有一個字母,只需要找到函數圖象上一個點的坐標代入即可；如果二次函數解析式中有兩個字母,則需要找到函數圖象上兩個點的坐標代入即可；如果二次函數解析式中有三個字母,通常需要找到函數圖象上三個點的坐標代入即可.


1.若拋物線y＝－ax2－4ax－的圖象經過點A(－3,0),則該拋物線的解析式是y＝－x2－x－.

2.已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交於A、B兩點,B點坐標為(3,0),與y軸交於點C(0,－3),則該拋物線的解析式是y＝x2－2x－3.

3.如圖,已知拋物線y＝ax2－x＋c與x軸相交於A、B兩點,並與直線y＝x－2交於B、C兩點,其中點C是直線y＝x－2與y軸的交點,求拋物線的解析式.


解：∵直線y＝x－2交x軸、y軸於B、C兩點,

∴B(4,0),C(0,－2).

∵y＝ax2－x＋c經過點B、C,

∴解得

∴y＝x2－x－2.

類型2　利用「三點式」求二次函數解析式

如果已知函數圖象上三點的坐標,通常設二次函數解析式為y＝ax2＋bx＋c.


4.已知二次函數的圖象經過點(－1,－5),(0,－4)和(1,1),則這個二次函數的解析式為(D)

A.y＝－6x2＋3x＋4

B.y＝－2x2＋3x－4

C.y＝x2＋2x－4

D.y＝2x2＋3x－4

5.如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,正方形OABC的邊長為2 cm,點A,C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上,拋物線經過點A,B和D(4,－).求拋物線的解析式.


解：設拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c.

由題意,得A(0,－2),B(2,－2),

因為拋物線y＝ax2＋bx＋c過A,B,D三點,將三點坐標代入,得

解得

所以拋物線的解析式為y＝x2－x－2.

類型3　利用「頂點式」求二次函數解析式

如果已知二次函數頂點和圖象上另一點,則設二次函數解析式為y＝a(x－h)2＋k.如果已知對稱軸、最大值(最小值)或者二次函數的增減性也考慮利用「頂點式」.


6.已知二次函數的圖象經過點(1,10),頂點坐標為(－1,－2),則此二次函數的解析式為(A)

A.y＝3x2＋6x＋1 B.y＝3x2＋6x－1

C.y＝3x2－6x＋1 D.y＝－3x2－6x＋1

7.(普陀區一模)如圖,已知二次函數的圖象與x軸交於點A(1,0)和點B,與y軸交於點C(0,6),對稱軸為直線x＝2,求二次函數的解析式並寫出圖象最低點坐標.


解：設二次函數的解析式為y＝a(x－2)2＋k.

把A(1,0),C(0,6)代入,得

解得

則二次函數的解析式為y＝2(x－2)2－2＝2x2－8x＋6,二次函數圖象最低點坐標為(2,－2).

類型4　利用「交點式」求二次函數解析式

如果已知二次函數圖象與x軸的兩個交點為(x1,0),(x2,0),那麼設二次函數解析式為y＝a(x－x1)(x－x2).

8.如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A、B、C分別為坐標軸上的三個點,且OA＝1,OB＝3,OC＝4,則經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y＝－(x＋4)(x－1).

9.已知二次函數對稱軸為直線x＝2,且在x軸上截得的線段長為6,與y軸交點為(0,－2),求此二次函數的解析式.

解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝2,且在x軸上截得的線段長為6,

∴拋物線與x軸兩交點為(－1,0),(5,0).

∴設二次函數的解析式為y＝a(x＋1)(x－5).

將點(0,－2)代入上式,得－2＝a(0＋1)(0－5),

∴a＝.

∴二次函數的解析式為y＝(x＋1)(x－5),

即y＝x2－x－2.

類型5　利用「平移」或「翻折」求二次函數解析式

利用「平移」或「翻折」求二次函數解析式的一般步驟為：(1)先根據平移規律或摺疊的性質求出平移或翻折後的拋物線的頂點坐標；(2)根據平移不改變拋物線的形狀和大小,翻折後的拋物線與原拋物線的形狀、大小相同,但開口方向相反,確定a的值；(3)利用頂點式,設平移或翻折後的拋物線的解析式是y＝a(x－h)2＋k,再代入a的值和頂點坐標,即可求出平移或翻折後的拋物線的解析式.

10.已知拋物線C0的解析式為y＝2x2＋x.

將拋物線C0向左平移1個單位長度,得到拋物線C1,則拋物線C1的解析式為y＝2x2＋5x＋3.

11.已知二次函數y＝－3x2＋1的圖象如圖所示,將其沿x軸翻折後得到的拋物線的解析式為(D)

A.y＝－3x2－1

B.y＝3x2

C.y＝3x2＋1

D.y＝3x2－1

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