這個寒假對於九年級的學生來說，充滿了挑戰性，因為他們將要面臨著中考了，在"宅家保健康，停課不停學"中背負著希望抗疫而行！
中考中二次函數可以說是必考的考點，今天我們一起學習一下如何用待定係數法求二次函數的解析式。
1、對於一般形式，y=ax^2+bx+c（a，b、c為常數，a≠0）
它的適用條件是：當已知拋物線上任意三點坐標時，通常設函數的解析式為一般式，然後列出關於a、b、c的三元一次方程組求解。
2、對於頂點式，y=a(x-h)+k(a、h、k為常數，a≠0)，拋物線的頂點坐標為（h,k)
它的適用條件是：當已知拋物線的頂點坐標、對稱軸或最值時，通常設函數的解析式為頂點式，然後代入另一點的坐標，解關於a的一元一次方程。
3、對於交點式，y = a (x - x1 ) (x-x2)(a、x1、x2為常數，a≠0）其中x1、x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標
它的適用條件是：當已知拋物線與x軸的兩交點的橫坐標時，通常設函數的解析式為交點式，然後代入另一點的坐標，解關於a的一元一次方程。
所以說待定係數法只是一種確定二次函數表達式的方法，並不是什麼公式。
但是在求解過程中，同學們一定要根據題目靈活選擇表達形式，明確解題步驟。
選對了二次函數的表達形式，可以使解決問題達到簡便、快捷的效果。
例1、已知二次函數y=-x^2+bx+c的圖像如圖所示，它與x軸的一個交點坐標為（-1，0）與y軸交點坐標為（0，3）。
①求出b、c的值，並寫出此二次函數的表達式；
②根據圖像，寫出函數值為正數時，自變量x的取值範圍。
分析：題設已經給出了二次函數的表達式及兩點坐標，所以我們只要把這兩點坐標代入二次函數表達式，得到一個二元一次方程組，解出b、c的值即可。
函數值y為正數時，其圖像為x軸上面的一段，此時的x取值範圍為二次函數與x軸的兩交點，所以只要求出右交點即可解決。
解：①把點（-1，0），（0，3）代入函數式得：
0=-1-b+c，3=c。
解得b=2，c=3。
所以此二次函數的表達式為y=-x^2+2x+3。
②將此二次函數的表達式改寫成交點式為：
y=-x^2+2x+3=-（x+1）（x-3），
所以當函數值y為正數時，自變量x的取值範圍為-1<x<3。
例2、如圖，已知二次函數圖像與x軸交於點A（1，0），B（3，0），且過（-1，16），拋物線的頂點是點C，對稱軸與x軸的交點為點D，原點為點O，在y軸的正半軸上有一動點N，使以A，O，N這三點為頂點的三角形與以C、A、D這三點為頂點的三角形相似。
求：①這條拋物線的表達式；
②點N的坐標。
分析：題設中給出了二次函數與x軸的交點坐標及第三個點，所以可設該二次函數的表達式為y=a（x-1）（x-3），將點（-1，16）代入即可求出a的值。
很明顯△AON與△CAD均為直角三角形，根據上一問求出的表達式進而求出頂點坐標，可得到OA、AD、DC的大小，根據三角形相似對應邊比值相等，可求出ON的大小，N點坐標可得。
解：①設該拋物線方程為y=a（x-1）（x-3）
將點（-1，16）代入拋物線方程得：
16=a×（-2）×（-4），解得a=2。
所以該拋物線表達式為y=2（x-1）（x-3）。
②y=2（x-1）（x-3）
=2（x-2）^2-2。
所以C點的坐標為（-2，-2）。
OA=1，AD=2-1=1，CD=2。
當△AON∽△CDA時，有
AO/ON=CD/DA，即1/AN=2，解得AN=1/2；
當△NOA∽△CDA時，有
NO/OA=CD/DA，即NO=2。
所以點N的坐標為（0，1/2）或（O，2）。
※全等是相似的一種，切不要丟掉了答案。
例3、已知拋物線經過A（-2，0），B（0，-4），C（2，-4）三點，且與x軸的另一個交點為E。如圖所示：
求①拋物線的表達式；
②用配方法求拋物線的頂點D的坐標和對稱軸；
③求四邊形ABDE的面積。
解設該拋物線表達式為y=ax^2+bx+c（a≠0），將A（-2，0），B（0，-4），C（2，-4）三點代入得：
0=4a-2b+c①；
-4=c②；
-4=4a+2b+c③。
解得a=1/2，b=-1，c=-4。
所以該拋物線的表達式為y=1/2x^2-x-4。
②y=1/2x^2-x-4
=1/2（x^2-2x+1-9）
=1/2（x-1）^2-9/2。
該拋物線的頂點D的坐標為（1，-9/2）；
對稱軸為x=1。
③AE=2丨-2-1丨=6，AO=2，EO=6-2=4，
OB=4。
連接OD，如圖所示：
S四邊形ABDE=S△AOB+S△EOD+S△BOD
=1/2×2×4+1/2×4×9/2+1/2×4×1
=4+9+2
=15。