基於概念形成的函數概念教學設計

2021-02-13 道斌工作室

前       言

    參加工作23年、研究初中數學12年,之際之時,於一個非常偶然的時機,參加了第八屆全國新世紀杯初中數學優質課(線上)評比觀摩活動。

    活動分兩部分,一是線上講課評比(講課課題由組委會下達給選手本人),二是書面教學設計評比(課題由選手本人在教材中任選)。筆者參加的是線上講課評比,分到的課題是「4.1函數」(北師大版《義務教育教科書·數學》八年級上冊)。

     拿到課題之後,筆者思考的是如何設計這節課(而不是如何講),因為本課是一節概念課,內容很抽象,相關知識的聯繫也不明顯。為了能夠清晰地呈現出本節課學習過程的思路,基於對課型教學的長期的思考,並參照筆者的第一本專著《初中數學課型教學研究》,對本節課的教學設計依託「背景—分析—歸納—定義—辨析—應用」的函數概念形成過程,融入合作學習、探究性學習,整體設計,注重發展學生的核心素養,使教學實現了三個「關注」,即關注了學生的學,關注了知識的形成與整體性,關注了學生的核心素養.因此說,就函數概念的獲得而言,筆者自認為本節課的教學設計是概念形成的典範,是教科書式的。

    如今,作為一名參賽教師,確切地講,是一名具有教育情懷的基層教研員,講課,不是筆者工作的重心,但「下水」講課,仍不失為踐行教與研的一種有效方式,對筆者而言,意義更大,因為可以藉此案例(4.1函數)來檢驗筆者的理論(《初中數學課型教學研究》)。

    最後需要說明的是,本教學課例已經由組委會放到了天元慧數學平臺(見下圖),感興趣的老師可以登錄天元慧數學官方網站www.huishuxue.cn,還可以對你感興趣的課進行投票,也包括筆者的課例「4.1函數」。

    在此呈現給大家的是這節課的教學設計,希望大家在觀看視頻時也好有個對照。同時,還希望能夠得到大家的批評指正。

基於概念形成的函數概念教學設計

山東省菏澤市牡丹區教學研究室(274000)    孫道斌

 摘 要:一個數學概念由探究、抽象、獲得到應用,有時既困難又漫長,需要經過多次反覆、循序漸進、螺旋上升的過程,才能達到對概念的真正理解和掌握.為此,依據概念形成理論,將一個概念的學習拆分為「背景—分析—歸納—定義—辨析—應用」六個階段,可以讓學生真正地經歷概念的生成、發展和應用的全過程,從而達到感知概念本質,深化概念理解,進而真正掌握概念.

 關鍵詞:概念形成;函數;教學設計

 

 數學概念是思維的細胞,是數學知識之本,解題之源,它不僅是正確計算和推理論證的基本依據,而且理解、掌握概念的過程更是提升數學能力的重要途徑.因此,教好數學概念是教好數學的內在要求,概念教學如果搞不好,數學課程目標的實現就失去了根基.為此,作為教師能否設計出切合學生實際的概念學習過程至關重要.如何設計呢?筆者以為,關鍵是要再現概念的形成過程.那麼概念是如何形成的呢?心理學研究表明,數學概念的形成是在教學的條件下,從大量具體的例子出發,從學生實際經驗的肯定例證中,以歸納的方法概括出一類事物的本質屬性.概念形成的學習過程實際上是歸納法進行推理,從觀察到的一些事物中概括出它們的共同點,得出一般性的規律【1】.因此,概念形成是概念學習歷程中非常重要的一部分,也是思維過程中最複雜的部分.基於以上的理解和思考,筆者依託「背景—分析—歸納—定義—辨析—應用」的函數概念形成過程,並以北師大版《義務教育教科書·數學》八年級上冊「4.1函數」的教學設計為例,對概念學習的設計做一些探究和嘗試,以期拋磚引玉.

  一、教材分析

  函數是數學中重要的基本概念之一,它揭示了現實世界中數量關係之間相互依存和變化的實質,是刻畫和研究現實世界變化規律的重要模型.本章是學習函數的入門,也是進一步學習一次函數的基礎.本節內容為「一次函數」章節的第1節,在學生學習了求代數式的值、一元一次方程和找規律等知識的基礎上,對變量和常量已有了初步的認識.本節課從生活實例出發,著力探究變量之間的關係,通過抽象、歸納出變量間關係的共同特徵,進一步概括出函數的概念,揭示其核心是「變量間的一種依存關係」,體會抽象、推理、模型這三個數學基本思想,並幫助學生知道刻畫「依存關係」的三種常用表達方式,系統地呈現了函數概念,有利於學生基礎知識和基本技能的初步掌握,體現「實踐—理論—再實踐」的認知規律,為「一次函數」全章的學習打下基礎.

 二、學情分析

 1.學生的知識技能基礎:在七年級上冊第三章「整式及其加減」的學習中,學生已經結合豐富的現實情景,體會了字母表示數的必要性,並能列出相應的代數式,實質上這裡已經滲透了初步的函數思想;在七年級下冊第三章「變量之間的關係」的學習中,通過大量貼近學生生活的豐富實例,讓學生體會變量之間相依關係的普遍性,直觀感受學習變量間關係的必要性,並通過表格、關係式、圖象等幾種方式呈現變量間的關係,揭示其本質,同時也暗示函數的三種表示方式.這些學習均為本章的深入學習奠定了堅實有力的基礎.

 2.學生的技能基礎:學生在之前的學習中已經學習過「符號化」「分類」「類比」「歸納」「建模」等數學思想方法,具備了學習本課時內容的較好基礎.

 3.學生的活動經驗基礎:在七年級上、下冊相關內容的學習中,教材為學生提供了大量生動有趣的現實情境,通過觀察、操作、交流、設計等活動,使學生在活動中自覺體會變量之間的關係,獲得了初步的數學活動經驗和體驗;同時在活動中也培養了學生良好的情感態度,以積極的態度投入到初中函數的學習過程中來,並且已具備了一定的主動參與、合作意識和初步的觀察、分析、抽象概括的能力.

二、教學目標

 1.知識與技能目標:

 (1)初步掌握函數概念,能判斷兩個變量之間的關係是否可以看作函數.

(2)根據兩個變量之間的關係式,給定其中一個變量的值相應的會求出另一個變量的值.

(3)會對一個具體實例進行概括抽象成為函數問題.

2.過程與方法目標:

 (1)提高學生利用函數的觀點認識現實世界的意識和能力.

 (2)經歷具體實例的抽象概括過程,進一步發展學生的抽象思維能力.

3.情感態度與價值觀目標:

(1)經歷函數概念的抽象概括過程,體會函數的模型思想.

(2)能主動進行觀察、操作、交流、歸納等探索活動,形成自己對數學知識的理解和有效的學習模式.

三、教學重點和難點

1.教學重點:

 (1)理解函數概念;

(2)會判斷兩個變量之間的關係是否可以看作函數;

(3)能把實際問題抽象概括成函數問題.

 2.教學的難點:函數概念形成中的抽象與概括以及對「單值對應」的理解.

 三、問題診斷

 從數學自身的發展過程看,變量與函數概念的引入,標誌著數學從常量數學向變量數學邁進,函數概念是用「變量說」來定義的,這種定義方式有益於學生接受的一面,也有其不足的一面.例如,「變量」、「對應」這些詞彙,並沒有給出明確的定義,這就造成了學生對函數定義理解的困難,另外,函數概念可以用列表法、圖象法、關係式法等方法來表示,每一種表示形式都可以獨立的表示函數的概念,這又是一個與其它概念不同的地方,由於函數概念需要同時考慮幾種表示形式,並且要協調好各種表示之間的關係,故容易造成學生學習上的困難.

在初中生的認知結構中,數與形基本上是割裂的,初中生不善於把抽象的概念與具體事例聯繫起來,還不能用辯證思維的思想來理解函數的概念.這與函數概念的運動、變化、聯繫的特點是不相適應的,這是造成函數概念學習困難的另一個重要原因.為此,要實現難點的突破,第一降低函數概念的坡度;第二弄清變化的依存關係,讓學生感知一個量變化,另一個量也隨之變化;第三這兩個變量存在主次關係.

 四、教學過程

 (一)創設情境,精心導入

 師:同學們,我們在七年級下冊認識了變量與常量,知道了生活中有很多變量.今天我們將通過三個情境問題,聚焦這些生活中變化的例子,進一步研究變量與變量之間的關係,把握其變化的規律,以此來認識函數.

 問題1:你去過遊樂園嗎?你坐過摩天輪嗎?你能描述一下坐摩天輪的感覺嗎?

 追問1:當人坐在摩天輪上時,人的高度隨時間在變化,那麼變化有規律嗎?

 追問2:摩天輪上一點的高度h與旋轉時間t之間有一定的關係,右圖就反映了時間t (分)與摩天輪上一點的高度h(米)之間的關係.你能從上圖觀察出,有幾個變化的量嗎?

追問3:當t分別取3,6,10時,相應的h是多少?給定一個t值,你都能找到相應的h值嗎?其中,對於給定的每一個時間t,高度h對應有幾個值?

 師生活動:學生踴躍交流、積極發言.教師適時引導.

設計意圖:以學生熟悉的摩天輪問題情境切入課題,讓學生感受到數學源於生活,初步感知生活中的變量和常量以及兩個變量的相互依存關係,引導學生用數學的眼光去觀察事物的變化,從而幫助學生建立「常量」與「變量」的概念,理解在一個變化過程中,總會存在常量和變量;進而幫助學生建立並體會「對應」的概念,即在兩個變量中,當其中一個變量變化時,另一個變量也隨著發生變化;當一個變量確定時,另一個變量也隨著唯一確定,把這種變量之間的關係,稱之為「對應」,並且這種變化關係、對應關係可用圖象的形式呈現出來,從而完成函數概念內涵的第一次抽象認識.

 問題2:瓶子或罐頭盒等圓柱形的物體,常常如下圖這樣堆放.隨著層數的增加,物體的總數是如何變化的?

 追問1:上述問題中有幾個變量?

 追問2:對於給定的層數n,相應的物體總數y的值確定嗎?

 追問3:其中,對於給定的每一個層數n,物體總數y對應有幾個值?

師生活動:學生積極思考,踴躍發言.教師適時引導.

 設計意圖:結合簡單實例,讓學生知道這些變量之間很難列式子表達,但是可以通過圖形讓學生能在變化的圖形中確定常量與變量,並進一步揭示「常量」「變量」的概念,幫助學生建立並體會「對應」的概念,並且這種變化關係、對應關係可用表格呈現.對函數從圖象角度的理解過渡到函數是兩個變量之間相互依存關係的認識,完成函數概念內涵的第二次抽象認識.

 問題3:一定質量的氣體在體積不變時,假若溫度降低到-273℃,則氣體的壓強為零.因此,物理學把-273℃作為熱力學溫度的零度.熱力學溫度T(K)與攝氏溫度t(℃)之間有如下數量關係:T=t+273,T≥0.當t分別等於-43,-27,0,18時,相應的熱力學溫度T是多少?

 追問1:上述問題中有幾個變量?

 追問2:給定一個大於-273℃的t值,相應的T值確定嗎?

 追問3:其中對於給定的每一個攝氏溫度t,熱力學溫度T對應有幾個值?

 師生活動:學生踴躍交流、積極發言.教師適時引導.

設計意圖:結合生活中的實例,嘗試通過一個數學式子,進一步幫助學生建立並體會「對應」的思想,也就是說,「常量」「變量」它們之間的關係,並且這種變化關係、對應關係可用一個數學式子(關係式)表示出來,完成對函數概念內涵的第三次抽象認識.

本環節總體設計意圖:研究學生熟悉的遊樂項目蘊含的變量之間的關係,利用三個實例和不同的表示方法展示了函數原型,進而讓學生從「數與形」不同角度初步感知「函數」模型.同時,藉助每個實例情境研究並形成結論,經歷了與函數概念相關的各種因素的辨別過程,呈現了階段性研究結果,觸及到了函數概念的雛形,為後面的自主歸納環節提供了鋪墊.

 (二)概括概念,獲得新知

師:同學們,通過以上三個問題情境,我們感受到了變化的過程,兩個變量和對應的關係,下面,請大家作進一步的思考.

 問題4:問題1~問題3所具有的共同屬性是什麼?

 師生活動:學生積極思考,很快達到共識:上面的問題中,都有兩個變量,給定其中一個變量(自變量)的值,相應的就確定了另一個變量(因變量)的值.教師進一步引導,三個問題雖然是以不同的形式來表示兩個變量間的關係的,但它們都是在一個變化過程中.

 設計意圖:揭示問題1~問題3的共性及本質,為函數定義之欲出而搖旗吶喊.同時,學生在思考、對比、分析、遷移中,親身經歷從大量同類事物的不同例證中發現它們的共同關鍵屬性,有效地培養了學生的抽象概括能力.

 問題5:你還能舉出與上述有相同屬性的實際問題的例子嗎?

 師生活動:學生積極思考並討論.教師適時引導.

 設計意圖:讓學生用模型化的思想順應將要下定義的函數模型,搞清模型的外延與內涵,使函數的本質在學生的腦中更加凸顯,再次為函數下定義做準備.

  問題6:既然生活中有這麼多的事實具有上述同樣的屬性,那麼我們就有必要對這類「一個量隨另一個量的變化而變化」的現象建立一個數學模型來進行研究了.為了研究的方便,我們得先給它取個名字,不過這個名字,我們的前輩——我國清代數學家李善蘭先生早已起好了,它就叫做「函數」.那麼,誰能給函數下個定義呢?

 師生活動:學生紛紛用自己的語言來描述函數的定義.教師引導學生比較、概括、分化、類化,捨棄無關特徵,使概念的關鍵屬性變得更加清晰.

 設計意圖:讓學生進一步顯性化函數的本質.而此時讓學生說出函數的定義有水到渠成的感覺.但是要較準確地說出函數的定義,又決非一件易事.為此,教師可進一步啟發學生回答下列問題.

 問題7:由於該模型涉及兩個變量,為了準確地知道「哪一個變量在主動變化下,另一個變量也隨之變化」,你打算如何說清楚這個問題?

 師生活動:教師引導學生用「用符號化的思想」分別給兩個變量起個名字,一個變量用x表示,另一個變量用 y表示.師生共同給出函數的定義.

 一般地,如果在一個變化過程中有兩個變量x和y,並且對於變量x的每一個值,變量 y都有唯一的值與它對應,那麼我們稱y是x的函數,其中x是自變量,y是因變量.對於自變量在可取值範圍內的一個確定的值a,函數有唯一確定的對應值,這個對應值稱為當自變量等於a時的函數值.

設計意圖:逼學生說出「用符號化的思想」分別給兩個變量起個名字,就能把問題說清楚了,至此函數的定義就完全清晰了.學生自主概括並精緻函數的概念,有效地培養了學生的概括能力.

 追問1:有沒有同學想過,這裡的「函」字是什麼意思?

 師生活動:教師指出,「函數」這個詞是我國清代數學家李善蘭先生翻譯過來的,「函」有「包含」的意思。李善蘭先生解釋為:「凡此變數中函彼變數,則此為彼之函數.」

 追問2:請同學們進一步思考,這樣定義有什麼好處?

 師生活動:教師引導學生進一步體會函數是描述變量之間的依存關係的重要數學模型.

 追問3:理解函數概念應注意什麼?

 師生活動:教師引導學生辨析概念中的幾個關鍵詞——「每」、「唯一」、「對應」的含義,同時舉出反例進行辨析.並進一步強調,理解函數概念應把握三點:(1)一個變化過程;(2)兩個變量;(3)對於一個變量的每一個值,另一個變量都有唯一的值與它對應,即是一種對應關係.判斷兩個量是否具有函數關係就以這三點為依據.

 追問4:表示函數的方法有哪幾種?

 師生活動:教師再通過對上面3個情境的比較,引導學生思考三個情境呈現形式的不同(依次以圖象、表格、關係式的形式反映兩個變量之間的關係),得出函數常用的三種表示方法:圖象法;列表法;關係式法.教師進一步指出,函數的本質是蘊含於變量之間的一種依存關係,而不是其代數表達式.

 追問5:函數與函數值有怎樣的聯繫與區別?

師生活動:教師引導學生區分概念.函數不是數,是蘊含於變量之間的一種依存關係;函數值是具體數值.

 設計意圖:概念得出後,學生只是建立了一個抽象、概括的語句框架,初步理解了概念中蘊含的基本屬性,但還沒有達到深刻理解的層面,為此,通過五個問題的追問,儘可能多地提供給學生觀察、思考、探究、交流、歸納等數學活動的機會,進一步加深對知識的理解,發展學生的數學思維;另外,問題層層遞進給出,依次引導學生進一步歸納得出如何判斷某一個變化過程是否存在函數關係、函數的三種表示方法、如何理解函數與函數值等知識點.如此一來,不僅能讓學生深刻地體回到概念的「縝密性」,而且對學生的質疑探究能力的培養也大有好處.尤其是借李善蘭先生對函數的描述,讓學生進一步體會到函數是描述變量之間的依存關係的重要數學模型.這一過程,也很自然地將數學史和數學文化融入到了課堂中,提高了學生的學習興趣.

本環節總體設計意圖:函數概念生成是本節課的難點,而難點突破的前提是學生要有足夠的研究變量間關係的經驗,以此為基礎,通過層層深入的問題設計,引導學生進行觀察、操作、交流、歸納等數學活動,在活動中歸納、概括出函數的概念;並通過師生交流、生生交流、辨析識別等加深學生對函數概念的理解.同時,閱讀教材定義,理解核心詞句,方能抓住本質特徵.這一環節承上啟下,至關重要.

(三)辨析概念,理解運用

 師:請用你所學函數的概念,解決下面的問題,並說明理由.

問題8:概念辨析:

 師生活動:學生積極思考並答題.教師引導學生深化理解概念並歸納總結用概念做問題判斷的方法:(1)一個變化過程;(2)兩個變量;(3)對於一個變量的每一個值,另一個變量都有唯一的值與它對應,即是一種對應關係.

 設計意圖:對數學知識的運用都是建立在對數學概念充分理解的基礎上的思維活動,只有做到對數學概念的深刻理解,才能提高學生的解題能力,也只有通過解題,學生才能更完整、更深刻地理解和掌握概念,為此,遵循學生的認知規律,從關係式、圖象和表格三個方面設計問題,通過正例反例的呈現,引發讓學生對函數的認知衝突,辨析概念,加深對函數的理解.同時,通過應用辨析,進一步明確概念的內涵和外延,突出函數概念的本質屬性.

 (四)達標檢測,鞏固新知

師:學得好不好,達標檢測見分曉,請大家完成達標檢測的相關內容.

 3.兩名同學一組,一名同學列舉一個變量之間是函數關係的例子,另一名同學判斷所舉例子是否正確,如果是函數關係,指明自變量和函數,如果不是函數關係,說明理由.交換分工再執行一次.

 師生活動:學生獨立思考答題.教師適時引導,進一步地讓學生明白,函數的本質內涵是蘊含於變量之間的一種依存關係.

 設計意圖:達標檢測內容的設計,遵循學生的認知規律,多角度、多層次地設置習題,提高學生對概念核心的理解程度.通過達標檢測,進一步明確概念的內涵和外延,突出函數概念的本質屬性.問題1要理解函數的概念,就要深入理解概念的關鍵詞「每一個」「唯一確定」,由於學生剛開始接觸抽象的概念,頭腦中理解這些細節的背景例證應該既要有正例,還要有反例;問題2的設置,一方面進一步鞏固了函數的概念,另一方面該問題正好蘊含著初中階段的三種重要的函數類型,對後續的學習形成了期待與展望;問題3引導學生用概念解釋事例的活動,形成用概念作判斷的「基本規範」,進而通過學生自己舉例,自己判斷,推動學生思維參與、加速概念的領悟過程.

(五)回顧梳理,反思悟學

 師:今天我們學習了一種刻畫和研究現實世界變化規律的重要模型——函數,請大家結合下面幾個問題,一塊來回顧一下吧.

1.請你從數學知識、方法、思想三個層面談談你本節課的收穫?

 2.在你運用這些知識時,你需要注意哪些問題或者細節?

 3.你能繪出本節課的知識框架(思維導圖)嗎?

 4.你還存在哪些疑問嗎?

 師生活動:學生先談一談本節課的收穫,教師再加以總結,並用框圖1、2梳理統計相關概念的知識系統,形成對相關知識的結構性理解.

 設計意圖:一節課的小結即是本節課研究問題的結束,又是新問題、新知識產生的開始.設置這些問題,意在讓學生暢所欲言,共同交流.這不僅僅對本節課所學知識、思想方法進行總結,還可以交流自己在學習過程中的一些感受,最終的目的是發展學生的數學核心素養(數學抽象、數學推理、數學建模),增強學生的反思意識,進一步讓學生認識函數的意義和影響.同時,通過學生從不同層面談學習體會與收穫,能及時將新知識納入已有的知識系統,加深概念的理解與思維的升華,再輔以思維導圖,可以讓學生對整個學習過程的脈絡更加清晰,使得學生的認知結構化、體系化.

設計意圖:條理清晰的板書意圖有三:一是呈現有理式的框架體系,利於學生對函數的「整體認知」;二是凸顯函數概念本質屬性,利於學生對重點知識的掌握;三是展現函數概念的獲得過程,利於學生對思想方法的領悟.需要說明的是,本板書設計採用「雕塑式」板書呈現函數的定義,即用分段、分時、逐級板書的形式給函數下定義,以此代替多媒體一次性展示概念的內容,讓學生在另一維度上領略函數概念的形成過程.同時,分段、分時、逐級板書,也可以讓學生感受教師「雕塑家」式的教學藝術之美,對學生起潛移默化的美的教育,彰顯教育的本質.

 (六)布置作業,深化提高

 師:同學們,函數是我們在學習方程、概率之後又一個重要的數學模型.通過今天的學習,我們更加明白,世界是變化的,函數正是研究運動變化的重要模型,函數就在我們的身邊,與我們的生活息息相關.希望同學們認真學習函數的後續知識(各種特殊函數),學習的效果與我們的勤奮程度也成函數關係,希望大家通過自己的勤奮獲取學習效果的最大值.這節課就上到這裡.謝謝同學們的配合.下課後,請同學們完成下面的作業.

 必做題:課本習題4.1第1、2、3、4題.

選做題:既然函數是從生活情境中抽象出來的,你們能不能又把它放回到生活情境中去呢?嘗試構建一個變化過程,使其中的變量關係可以用y=3x+1來描述.

 

師生活動:學生課下完成.

 設計意圖:適量的課外作業可以加強學生對所學知識的鞏固,防止知識遺忘,也為後續學習打好清晰的認知基礎.而作業設置了三個梯度,是為了滿足不同層次學生的需要.作業分層布置,真正實現「不同的人在數學上得到不同的發展」.其中的拓展題用表和圖來刻畫函數關係,意在檢測學生對於依賴關係和函數概念的掌握情況;隨後設計了一個開放性的問題,意在檢測學生「用數學」的意識及能力,以下評價標準可供參考:第一層級(合格):問題(1)解答正確;第二層級(良好):問題(1)解答正確;問題(2)能讀出變化趨勢,描述大致的變化規律,能較清楚地介紹自己的學習啟示;第三層級(優秀):問題(1)解答正確;問題(2)能讀出變化趨勢,準確、完整地描述變化規律,能清晰地介紹自己的學習啟示.

 五、設計說明

 本課是一節概念課,內容很抽象,相關知識的聯繫也不明顯.為此,本節課的教學設計依託「背景—分析—歸納—定義—辨析—應用」的函數概念形成過程,合作學習、探究性學習,整體設計,注重發展學生的核心素養,使教學實現了三個「關注」,即關注了學生的學,關注了知識的形成與整體性,關注了學生的核心素養.具體說明如下:

1.踐行知識形成,把學習權利還給學生

 著名特級教師李庾南說「教學的核心是學生的學習,教師教的使命在於讓學生學會學習,讓學生主動學習.」【2】為此,本課採用了「概念形成」的教學模式,背景—分析—歸納—定義—辨析—應用等六環節,每個環節都圍繞著學生的學,讓學生自主探究,做學習的主人.本課設計了四個「合作學習」活動,讓學生觀察發現、討論交流、整合提煉、舉例與挑戰等,使合作學習、探究學習落地開花.把學習的權利還給學生,極大地激發學生學習的潛能.

 2.實施整體教學,追尋數學本質

整體教學體現數學的聯繫性、整體性,實現建構式的學習.為此,本課採用了整體教學的策略.背景—分析—歸納—定義—辨析—應用等六環節,既是函數概念學習的過程,也是「概念形成」的教學模式,因此,它是這一類相關知識的一種思維結構模式,尤其是小結環節框圖1、2的知識系統,形成對相關知識的結構性理解,從而清晰地呈現出了本章知識學習的思維結構,進而對本章的相關知識形成了完整的認識.與之相對應的,是用分段、分時、逐級板書的形式呈現的「雕塑式」板書,其條理清晰的框架體系更加凸顯了函數概念的本質屬性,從而讓學生在另一維度上領略函數概念的形成過程.

 3.運用基本數學思想,發展學生核心素養

 《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出:會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界,會用數學的語言表達世界【3】.「三會」是學生在數學學習中的行為表現,是數學學科核心素養內化於人的結果,也是數學育人體現在學生身上的主要特徵.章建躍博士強調「發展學生核心素養,需要在代數中加強演繹推理,在幾何中加強直觀想像」【4】.為此,本節課滲透的基本數學思想是抽象思想、推理思想、建模思想,它們分別對應著數學抽象、邏輯推理、數學建模等三種核心數學素養.本課圍繞三個核心素養的培養,開展了豐富的學生活動.從三個情境問題出發,讓學生感受一個個變化的過程,從三個變化過程中提煉函數的定義等發展了學生的數學抽象能力並較好地發展了學生的邏輯推理能力;函數概念的形成過程發展了學生的數學建模能力.本課運用三個基本數學思想實施教學,發展學生的核心素養,培養學生「三會」,較好地實現了本節課育人價值.

 需要說明的是,由數學概念的獲得(概念的掌握)方式到概念教學的實施,有一個繞不開的話題,那就是如何讓數學概念教學有效促進學生核心素養的提升?也就是最終完成數學教學從「知識立意」向「素養立意」轉變,落實好學科核心素養.這是一個讓每一位從事數學教學工作教師所必須深思的問題.為此,我們應該轉型課程內容,從單純的學術形態備課到教育形態備課;轉型教學方式,從知識重現到知識重演,促進學生的深度學習;最終轉型教育觀念,從數學教學到數學教育,實現育人本位的回歸.通過數學概念的有效教學,將數學學科核心素養教育落到實處,使學生養成終身發展所需的必備品格與關鍵能力,才是真正意義上實現理解數學、理解學生、理解技術、理解教學,也才能真正實現素養教育.數學概念教學的探究之路尚需要我們持之以恆地走下去,這個話題永遠不老,也不過時!

 

 參考文獻:

 [1]孫道斌.初中數學課型教學研究[M].西安:陝西師範大學出版總社,2018.

 [2]李庾南.數學「自學•議論•引導」教學法[M].北京:人民教育出版社,2004.

 [3]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準(2017年版)[S].北京:北京師範大學出版社,2017.

[4]章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考[J].數學通報,2013, 52 (6).

相關焦點

  • 教學研討|1.2.1函數的概念
    (二)過程與方法通過三個實例共性的分析到函數概念的形成,再對三個實例進行拓展,讓學生對函數概念進行辨析,體現從特殊到一般,再從一般到特殊的思想方法,滲透了歸納推理,實現了感性認識到理性認識的升華.[1]據此,本節課教學內容內涵應為函數基於集合與對應語言的概念之理解和運用,教學內容反映了對應思想、函數思想。本節教學內容中,函數三要素屬於事實性知識、函數的定義屬於概念性知識、求定義域及判斷函數相等屬於程序性知識、認識到自己的認知需要不斷發展並激勵自己不斷求知屬於元認知知識。為此本節課設定的教學重點是「函數定義的形成」。
  • 高中數學《函數的概念》教學設計及說課稿模板!
    教師之夢微信公眾號在之前也發過不少教學設計模板和一些萬能模板,需要的同學可以在後臺回復教學設計進行查看。《函數的概念》教學設計一、教學目標【知識與技能】理解函數的概念,能對具體函數指出定義域、對應法則、值域,能夠正確使用「區間」符號表示某些函數的定義域
  • 討論 | 三角函數概念的教學
    上一期推送中,提到了三角函數概念的兩種教學設計,雖然投票的人不多,但從已投票的結果看(8:3),更多老師認為教學設計1更好。
  • 函數奇偶性概念的解讀與教學
    函數奇偶性概念的解讀與教學高中數學大量的概念、定理、定律使很多學生望而卻步,對概念一知半解,不能深入理解的話會導致解題思路混亂
  • 函數概念與基本初等函數的教材分析
    1.了解函數概念產生的背景,學習和掌握函數的概念和性質,能藉助函數的知識表述、刻畫事物的變化規律;2.理解有理指數冪的意義,掌握有理指數冪的運算性質,掌握指數函數的概念、圖象和性質;3.理解對數函數的概念和意義,掌握對數的運算性質,掌握對數函數的概念、圖象和性質;4.了解冪函數的概念和性質;5.知道指數函數、對數函數、冪函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型
  • 大概念:教學變革與課程創新的著力點
    大概念教學可以實現教師教的少、學生學的多,是走向「輕負擔高質量」的門徑。大概念將對基礎教育課程教學變革產生深遠影響。如果說學科核心素養是教學變革與課程創新的引擎,那麼,大概念就是教學變革與課程創新的著力點。新版教材的編寫者已把大概念思想滲透在教材之中,生物、物理學科尤其明顯。部編本語文教材圍繞「人文主題」和「語文要素」雙線組織單元,加強了不同年段、不同冊次之間的縱向聯繫和單元內部的橫向聯繫,核心知識呈現出由易到難、由淺到深的進階式學習形態,體現了大概念的教學思路。
  • 數學課 · 函數的概念 概念發展
    函數的概念這種概念課是非常難講的,難的不是知識點本身,而是如何講解枯燥無味還全是小細節的概念。我在本科期間參加省裡的比賽,其中的一個課題就是函數的概念,當時準備的內容與大部分老師上課基本上是一樣的,就是初高中函數概念的過渡,配合解析式、圖象、表格的三種形式,然後得出高中函數的概念,再進行強調總結。現在看好像很多老師講課還是這樣。
  • 英語教學設計概念及解析
    英語教學理論與教學實踐的關係很明了,科學嚴謹高效的英語教學實踐是在一定的教學理論指導引領之下而進行的,理論指導下的實踐才更科學,更完善,更專業,因此了解相關的概念,對寫好教學設計起到指導和引領作用,促進英語教學設計的書寫和制定更科學、更專業,課堂教學效果更明顯、教學質量更有保證。
  • 高中數學《函數的概念》說課稿
    今天我將貫徹這一理念從教材分析、學情分析、教學過程等幾個方面展開我的說課。一、說教材首先談談我對教材的理解,《函數的概念》是北師大版必修一第二章2.1的內容,本節課的內容是函數概念。函數內容是高中數學學習的一條主線,它貫穿整個高中數學學習中。
  • 【新教材】5.2.1三角函數的概念教學設計
    三角函數的概念是在初中對銳角三角函數的定義以及剛學過的「角的概念的推廣」的基礎上討論和研究的。三角函數的定義是本章最基本的概念,對三角內容的整體學習至關重要,是其他所有知識的出發點。緊緊扣住三角函數定義這個寶貴的源泉,可以自然地導出本章的具體內容:三角函數線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數關係、多組誘導公式、多組變換公式、圖象和性質。
  • 《對數函數的圖像與性質》的教學新設計
    為了提高佛山市高中數學教學水平,佛山市教育局教研室彭海燕副主任邀請我們為全區的高中數學教師做一個基於高中數學新課標和新教材的教學設計示範案例,並於2019年10月17日上午在佛山市第四中學面向全區的高中數學科組長和骨幹教師上了公開示範課,引發了大家的熱議.以下是我們根據追求數學素養的教學設計標準[1]、[2]設計的教案和反思,希望廣大讀者批評指正.
  • 教學研討|3.1.1 函數的概念 第1課時(2019版新教材)
    函數概念的核心是「對應關係」:兩個非空數集A,B間有一種確定的對應關係f.即對於數集A中每一個x,數集B中都有唯一確定的y和它對應.這裡的關鍵詞是「每一個」,「唯一確定」.集合A,B及對應關係f是一個整體,是兩個集合的元素間的一種對應關係,這種「整體觀」很重要.    基於以上分析,確定本節課的教學重點:用集合語言與對應關係建立函數概念.
  • 【代表課例】基於理解 問題引領 學會學習 ——以「反函數的概念(第一課時)」為例
    函數和反函數從不同的角度反映了一組對應關係的兩種相反的對應法則,函數與其反函數一般情況下是不同的,但它們在對應關係上卻是統一的,體現了矛盾與統一的辯證關係。本節課通過創設情境引入課題,激發學生的學習興趣,愉快地參與。在形成概念及理解辨析環節中設置問題鏈,促進學生思考和探索。在例題講解,鞏固新知環節,引導學生有邏輯地規範表達。
  • 【概念學習專題】基於認知水平進階的概念學習(一)
    而對高層次數學認知能力的評估與教學,必須構建數學認知水平的分析框架。在多個數學認知水平的分析框架中,影響力較大的包括我國顧泠沅教授提出的四個水平層次架構:水平1,計算——操作性記憶水平;水平2,概念——概念性記憶水平;水平3,領會——說明性理解水平;水平4,分析——探究性理解水平。
  • 【教學設計中的32個基本概念】五星教學原理
    再輔以幾道回憶性質的填空題不足以構成有效教學的全部要件那什麼等於教學呢他花了十幾年研究了很多的教學設計模式加上上千名擁躉給他的理論做循證實踐提出和固定了五個有效教學的基本原則一個教學要有效必須聚焦問題就是簡化非典過去很多年我們可能只會用幾個詞來回憶這個事件將來新冠肺炎消失了  事件過去了我們也是用一些詞來形成這個事件比如宅在家裡、春節不聚會、洗手、戴口罩等這個就是簡化、概括【聚焦問題】老師們在教學設計中這部分最容易犯下的錯誤
  • 生物學概念教學的實踐與思考
    推行概念教學,有利於引導學生合作探究,分享從生活經驗中提煉的事實,並用這些事實幫助理解教材中的有關概念,這在一定程度上能提升學生科學探究、合作學習的能力,有利於其科學思維的形成。3 實施概念教學的常見措施3.1 基於事實歸納形成概念教師在充分了解學生已有的前概念的基礎上,向學生提供或師生一起探尋各種豐富的、有代表性的事實來為新概念的形成提供支撐。
  • 基於大概念和開發模型的 Arduino 學習活動設計路徑
    本期《271教育研究》文章是來自濰坊峽山實驗初中王福榮老師的《基於大概念和開發模型的Arduino學習活動設計路徑 》。本文通過文獻研究和課堂實踐,構建基於大概念和開發模型的學習活動設計思路,讓學生更有效地開展Arduino學習,培養學生學科核心素養。[ 關鍵詞 ] 大概念;開發模型;Arduino 學習活動設計 近年來STEAM 教育、創客教育在中小學愈發重視,其中基於Arduino 的作品設計能夠更好地落實新課程標準,培養學生的動手能力、創新能力和運用信息技術解決問題的思維品質。
  • 淺談初高中函數概念的區別
    在平時的教學中,經常會有同學產生這樣的疑問:為什麼初中已經學過了函數的概念,到了高中還要再學一個新的概念
  • 「數系的擴充和複數的概念」教學設計
    知識與技能目標通過對複數引進過程的探索,了解數系擴充的必要性,理解虛數單位及與實數的四則運算規則,理解並掌握複數的相關概念;會運用複數及其相關概念解決有關問題。2. 重點:複數的概念,虛數單位,複數的有關概念。難點:虛數單位的引進,複數的概念。師生活動:學生獨立思考,小組交流,最後師生共同總結。活動結果:對於數學學科本身來說,數集的每一次擴充,都解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾。
  • 大概念統攝下的單元教學設計:知識轉化為能力素養的重要途徑
    圍繞大概念進行單元教學設計已成為當前學科教育的發展趨勢和熱點問題,2018年初頒布的普通高中各學科課程標準中「凝練了學科核心素養」「重視了以學科大概念為核心,使學科內容結構化」。那麼,如何理解學科大概念及其在教學中的作用?學科大概念與單元教學設計有何關係?如何圍繞大概念開展單元教學設計?