學習一點點向量

學習一點點向量1 向量的概念

向量是什麼（在物理中叫矢量）？我們一般回答：向量是具有一定大小和方向的量；如果再準確一點，我們還要求這個量需要滿足平行四邊形法則。比如速度，力等。與它對應的叫數量（在物理中叫標量），數量只有大小，沒有方向，比如質量，密度等等。

其實，向量和矢量是一回事，接下來我們就只用向量這個詞。

向量這個概念最開始是在研究物理問題而產生的。你想一想，你用一定的大小的力沿直線推動一個箱子，突然前方出現一個障礙物，假如你為了避開障礙物，換一個方向用相同的力去推這個箱子。這兩個過程中力的大小一樣，但方向不一致。為了研究這種現象，向量概念的引進就比較必要。

1.1有方向的線段

為了同時研究力的大小和方向，也為了方便直觀，我們可以把力表示為有方向的線段。為什麼這樣做呢？我們可以這樣想，力有三要素：大小、方向、作用點。對應到有方向的線段中，就是線段長度代表力的大小，箭頭方向代表力的方向，還可以用線段的端點表示作用點。這樣一一應對，我們就可以用比較直觀的幾何圖像研究力這種比較抽象的概念了。為了同時研究力的大小和方向，也為了方便直觀，我們可以把力表示為有方向的線段。為什麼這樣做呢？我們可以這樣想，力有三要素：大小、方向、作用點。對應到有方向的線段中，就是線段長度代表力的大小，箭頭方向代表力的方向，還可以用線段的端點表示作用點。這樣一一應對，我們就可以用比較直觀的幾何圖像研究力這種比較抽象的概念了。

線段的長短表示向量的大小，箭頭的方向表示向量的方向；矢量的印刷符號一般用黑體字A，書寫一般用

1.2 平行四邊形法則

既然我們用有方向的線段表示力，那現在有這樣一種情況：圖片一個靜止物體受到兩個不同方向，不同大小的力，它會朝哪一個方向運動？從力的作用效果來看，就是我們通過研究物體的運動，物體會沿著以兩個力為鄰邊作出的平行四邊形的對角線移動。如果我們不用兩個力，而只用

我們按作用效果來分，把分力。而我們用到的規則，就被我們稱作力的平行四邊形法則。

其實，牛頓於1687年發表的著作《自然哲學的數學原理》中，關於他提出的三大運動定律的推論之一提到:「當兩個力同時作用於一個物體時，這個物體將沿著平行四邊形的對角線運動，所需時間等於兩力分別沿兩邊所需。」他另一個推論中給出並證明了這樣一個結論：任何兩個斜向力AC和AB可以合成一直線力AD，反之任何一直線力AD可以分解成兩個斜向力AC和AB；這中合成和分解已經在力學上充分證實。

和力一樣，速度也是向量。據說，古希臘學者，哲學家亞里斯多德就已經知道速度是一個向量，而且在他的著作《力學》裡就描述了速度遵循平行四邊形法則。

我們知道力，速度都是向量，那我們推廣一下:

「

向量的平行四邊形定則——兩個向量合成時，以表示這兩個向量的有向線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個鄰邊之間的對角線就代表合向量的大小和方向.

2 向量的運算

2.1向量的加法

我們現在再來總結一下前面所講的，在力學的研究中，我們為了描述力的作用效果，力的大小方向，建立了一個向量的物理概念，一種方便的幾何數學模型，又發現力，速度等向量遵循平行四邊形法則。我們就把向量定義為具有大小和方向，且滿足平行四邊形法則的量。

現在，我們先定義一些概念，方便學習和接下來的敘述：

向量0。如果兩個向量大小相等，方向相同，那麼稱這兩個向量相等，即

我們發現，在物理學中很多量都可以用向量表示且遵循平行四邊形法則，為了方便和簡潔，我們就定義向量的加法，記作

我們都知道實數的加法滿足交換律和結合律，可以證明，向量的加法同樣滿足交換律和結合律。不信的話，可以自己動手畫個平行四邊形看看，它們的向量和是一樣的。

2.2向量的減法

同樣的，我們把式子

2.3向量的數乘

前面我們知道，向量可以表示為有向線段。假設一開始有向線段的長度是2，記作

同樣的，向量的數乘滿足結合律和分配律。

2.4向量的坐標表示

有時候用向量的有向線段表示不滿足我們的需求，或者我們想在計算的時候找一個簡單一點的方式，這時候我們在平面上引入一個平面直角坐標系。

我們這樣做，在原有的基礎上，把表示向量的有向線段op的始端o放在坐標原點處，然後我們按照我們已經知道的平行四邊形法則進行分解向量op,不過我們是有目的分解。我們分解的方向取沿著X軸和Y軸，並且在X軸和Y軸上我們規定兩個單位向量i和j,它們的方向我們取沿著X軸和Y軸的正方向。這樣，圖中的op就可以分解成OA=2i,OB=4j,根據向量的加法或者平行四邊形法則（這兩個是一樣的操作），  OP=OA+OB=2i+4j（這裡i,j都是單位向量）。當然，我們還可以把OP 表示的更加簡潔一點，OP=2i+4j=(2,4).等等，我們看看圖上P的坐標是多少，正好是（2,4），即P（2,4）。

從這裡我們可以看到，我們把表示向量的有向線段OP放在平面直角坐標系中，經過向量的分解，OP 可以表示為OP=(2,4)，而點P的坐標為(2,4) ，我們就把向量OP叫做點P的位置矢量。向量OP就表示為OP=(2,4)。

如果更一般的情況，向量OP的坐標形式就表示為OP=(x,y),x,y為實數。

3 複數

現在，我們換一個角度看一看向量的加法和減法。再此之前，我們先認識一下複數。

3.1 虛數i

虛數是16世紀義大利米蘭學者卡爾達諾在解一元三次方程時引進的。在一開始，許多數學家對它發生了許多爭論。我們在初中解方程的時候，如果遇到這種情況

如果你是第一次看到這個i=

「

「虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和不存在之間的兩棲物」。

可以看見，虛數不僅是你我感到困惑，連許多數學家也感到棘手。

3.2 複數的幾何意義

現在，我們把形如z=a+bi（a,b均為實數）的數稱為複數，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位。注意一下，其中+不是加法上的加號意義。其實，，我們把X軸上的一個單位代表1，我們叫做實軸，在Y軸上一個單位表示i，我們叫虛軸。那麼，a可以看成橫坐標，b可以看成縱坐標。如果我們在平面直角坐標系中的點一一對應複數的話，可以把複數寫成z=(a,b)，就這樣，複數就被看成平面上的一個點了。等等，複數可以看成一個點，聯繫我們之前所說的，複數可以表示成一個點，可不可以表示成一條有向線段呢？應該可以，我們舉個例子，複數z=2+4i，我們在複平面上找一點P，使它的坐標為（2,4），，然後以原點畫一條有向線段。你看，圖中OP就表示複數z=2+4i了。

我們可以再舉兩個例子，

複數的加法是把兩個複數的實部和虛部分別相加，結果還是一個複數。比如，，

說到這裡，我們可以看出，複數的幾何意義表示為複平面上的點和有向線段，更可以表示為向量。而複數的加法，可以轉換成複平面上有向線段的平行四邊形法則來計算。

這種複數的幾何表示，是大數學家高斯較早引入的，在這之後，人們慢慢接受複數的概念。

簡單說一說i的幾何意義：

還是平面直角坐標系，不過這是每一個點表示一個複數，我們可以稱這個平面是複平面。在X軸上,1

4向量理論簡介4.1 四元數

知道了複數的幾何意義，就可以用複數來表示和研究平面上的向量及其運算了。但是，現實是複雜的。在物理學中一個物體所受的力不一定恰好總是在一個平面內。為了像用複數處理平面上的力或者向量，人們開始尋找所謂的三維的複數。

在這方面，哈密頓做出了許多努力，在1843年宣告四元數的發明。

四元數就是形如 ai+bj+ck+d 的數，a、b、c、d是實數。

其中 ，

ij=k、ji=-k、jk=i、kj=-i、ki=j、ik=-j

從小學開始，我們就陸續學了正整數，自然數、負數，分數、小數，有理數，無理數，最後我們把有理數和無理數叫做實數。而伴隨學習這些數的同時，我們還學習或者知道了這些數統統都滿足交換律、結合律等等一些普遍的規則，這是我們做題和算數的根本。以至於以前的數學家都認為，這是「數」必須遵守的規則。連哈密頓在創造四元數的時候過了很久才不得不放棄或者犧牲運算中的交換律，即ij

有兩個四元數，q=d+ai+bj+ck,p=w+xi+yj+zk,pq相乘，並且逐項相乘,

R=q

=(dw-ax-by-cz)+i(aw+dx+bz-cy)+j(bw+dy+cx-az)+k(cw+dz+ay-bx)

如果把是p

我們把(dw-ax-by-cz)部分叫做標量部分，i(aw+dx+bz-cy)+j(bw+dy+cx-az)+k(cw+dz+ay-bx)部分叫做向量部分。

順便一提，哈密頓引進了一個非常重要的微分算子：

4.2 向量理論的發展

哈密頓雖然發明了四元數，但是這並不是物理學家們想要的工具，在物理中很難有用武之地。

哈密頓之後，麥克斯韋在《電磁通論》裡將四元數的標量部分和向量部分分開來看。並且表示，一個向量需要三個分量，即ijk.而這裡的向量概念是四元數的向量部分。此外，麥克斯韋還進行了向量內積，外積的運算。

吉布斯和亥維賽各自獨立的創造了向量理論，並做了大量的向量分析。

到這裡，我們不妨再簡單回顧一下：

物理學，尤其是力學中我們研究力、速度等物理量時提煉出向量的概念，它滿足平行四邊形法則。為了簡練和方便，又用有向線段來表示向量，還可以在直角坐標系中把向量用坐標表示。隨著複數的引進和幾何意義的發現，向量被引進了數學中，成了數學研究的對象。哈密頓創造了四元數，麥克斯韋對四元數進行了批判性的吸收和使用。，吉布斯和亥維賽的向量理論創立後，物理學家和應用數學家開始大量地把向量語言用在物理學和數學的各個分支，並極大地充實了向量理論的內容。

當然，現代數學意義上的向量概念，它的內涵已經豐富和深刻的多。

5 向量的內積和外積

我們再簡單介紹一下在物理中很有用的兩種向量的運算。

5.1向量的內積

兩個向量A和B的內積是一個標量，我們記作

AB=|A||B|cos<A,B>

幾何意義：我們把兩個向量在直角坐標系中用有向線段表示出來，其中|A|表示向量OA的長度，|B|表示向量OB的長度，cos<A,B>表示向量OA、OB的夾角，那麼 AB=|A||B|cos<A,B>表示第一個向量OA投影到第二個向量OB上然後乘OB的長度。

向量的這兩種運算在物理中非常有用，可以使物理公式的表達十分簡潔優美。

物理意義：在平面上，一個物體在原點處，所受的力F的大小和方向用有向線段OA表示，在力F的作用下沿著有向線段OB方向移動，移動的距離為線段OB的長度即S。根據功的大小等於力與物體在力的方向上通過的距離的乘積，我們可以把功的表達式寫成

W= FS=|F||S|cos<F,S>=|A||B|cos<A,B>。

其實，向量的內積這種運算還有許多的稱呼，比如，點乘、點積，數量積，標積等等。

5.2向量的外積

兩個向量的外積是一個向量，我們記作

C=A

向量C的大小是|C|=|A||B|sin<A,B>,就是一向量A、B為鄰邊所作的平行四邊形的面積，向量C的方向如圖所示

簡單來說，就是用你的右手的四指從A到B旋轉，逆轉的角度是向量A、B夾角中較小的角，大拇指所指的方向就是向量C 的方向。

在中學物理中，洛倫茲力可以表示為F=qV,力的方向就可以用外積的定義來判斷。在我就讀的地方，中學沒有教向量的外積，在判斷洛倫茲力等力的方向時用左手定則或者右手定則，個人覺得用左手定則或者右手定則判斷有點多餘，容易混淆。不如花點時間，學點向量外積。既可以時公式看起來簡練優美又可以少去不必要的麻煩。

我自己在學習向量時有點迷糊，所以簡單的梳理了一下向量概念在歷史中的發展，對自己學習是有一定幫助的。

這裡只是說了一點點向量的知識，想深入了解，還是要看書。