之前的數學分析相關文章討論的是一維的函數微積分理論。本套教材最後一冊從一維數軸過渡到二維平面，來探討和分析多元函數微積分理論。
有了前面的基礎，我們不難將之前的知識體系遷移到這裡來。
首先明確定於域，從數軸R到平面R^2，然後給出點和面的關係，點和點集的關係，平面集合的開閉關係。
定義域是限定的討論範圍，是函數的靈魂，需要討論R^2的完備性。
定義域理論完善明確後，二元函數順理成章的出現。如出一轍的結構，定義二元函數與多元函數，然後描述二元函數極限,這裡出現重極限與累計極限的概念，通過極限理論，刻畫二元函數的連續性，同樣的，連續的二元函數具體某些整體性質。
數學分析知識發展軸：函數-》極限-》連續性-》可導可微-》積分
連續的二元函數同樣有可導可微的概念，不同的是這裡會分偏導數和全微分的概念。不可避免的會談到可微的幾何意義以及充分條件，還有復函二元函數的微分法，求導法則。
當到這個時候，二元函數的微分理論算是告一段落。那二元函數微分法有什麼用呢？最常見的用途是求最值和極值，這裡就涉及到方向導數最大值和梯度的概念，而且，二元函數也能進行泰勒展開。求極值最值是最常用也最有用的，不過，什麼情況下才具備極值呢，這是一個要詳細討論的問題---多元函數的極值存在的必要條件和充分條件。
當自變量與因變量的一一對應關係無法通過數學表達式z=f(x)表示時，則稱之位隱函數。隱函數是有幾何意義的。討論隱函數的分析性質，首先要解決的是隱函數的存在性問題，只有存在了，才能進行後續的求導探討。
隱函數組能表示：兩個曲面相交得到的曲線的參數化方程，反函數組，坐標變換。隱函數組。
隱含數組的具體應用：空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線。
會涉及條件極值的概念與幾何意義，條件極值和拉格朗日乘數法也有關係。
二元函數微分導數討論完畢就到討論積分性質與理論了。
這裡的積分會涉及到含參變量積分（分為含參變量正常積分與反常積分），討論含參變量正常積分的性質與討論含參變量反常積分的一致收斂判別法及分析性質是不可避免的。
含參變量反常積分是有具體應用的：
計算Poisson型積分計算迪利克雷型積分計算歐拉型參變量積分--Gamma函數Beta函數Beta函數與Gamma函數的關係
重積分，類似於定積分，具體應用有計算曲面的面積，計算重心，計算萬有引力。
依據重積分定義-》存在性-》可積類型-》二重積分具有的性質，的順序討論著二重積分的概念。具體的有直角坐標系下二重積分的計算（矩形區域的重積分可以轉化為累計積分，並以此推廣到一般區域）。二重積分存在變換變量公式（變量變換與面積微元），變換後，可能變為在極坐標系中計算二重積分。更進一步，從二重積分推廣到三重積分，計算三重積分的方法是變為累次積分（包括穿針法與切片法），三重積分也是存在變量變換法的。
積分是一個工具，是個手段，討論好多元函數的積分性質後，應用是重點：計算曲線積分與曲面積分。
第一型曲線積分第一型曲面積分第二型曲線積分第二型曲面積分兩類曲線積分之間的關係兩類曲面積分之間的關係各種多元積分之間的關係：1）格林公式2）高斯公式3）斯託克斯公式4）曲線（平面/空間）積分與路徑無關性
最後，場論初探：
涉及散度和旋度哈密頓算子幾種常用的場：1）無源場2）無旋場3）梯度場4）散度場5）旋度場
以上就是本套教材最後一冊的多元微積分理論的概括內容和編排知識體系結構的順序。
純數學理論實在太枯燥了，明天起，換個新口味。