最近，電視劇《隱秘的角落》熱播，劇中的天才殺人犯、數學老師張東升給學生們講了一個心形曲線的故事。
《隱秘的角落》劇照
你聽說過這個故事嗎？它是真是假？心形曲線到底是怎麼畫出來的？今天我們就來給大家介紹一下。
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在十七世紀中葉，法國正在流行黑死病，50多歲的著名數學家、物理學家、哲學家笛卡爾逃離了法國，流落到瑞典街頭要飯。有一天，他邂逅了上街遊玩的年輕的瑞典公主克裡斯蒂娜。經過交談，克裡斯蒂娜對才華橫溢的笛卡爾仰慕萬分，就把他回皇宮，當自己的數學老師。在日復一日的討論中，公主對笛卡爾的感情從仰慕變成了愛慕。
笛卡兒
很快，他們之間的感情被國王發現了，國王非常憤怒，下令要處死笛卡爾，在公主的苦苦哀求下，笛卡爾才逃過了死刑，被驅逐出瑞典，回到了法國。
克裡斯蒂娜公主
笛卡爾回到法國後，日夜思念公主，他把自己的思念寫在一封封信上寄給了公主，可是公主從來沒有回信，因為笛卡爾所有的信都被國王攔截了。相思之苦讓笛卡爾身染重病，在彌留之際他給公主寫了最後一封信，這封信裡只有一行字：
r=a(1-sinθ)
這封信也到了瑞典國王手裡，但是國王看不懂這封信的意思，找手下的大臣，也沒有一個人看得懂。國王覺得這可能只是一個數學問題，於是就沒有阻攔它，把它交到了公主手裡。公主拿到信之後非常開心，因為這正是笛卡爾教給她的解析幾何！原來，這是一個幾何圖形的代數表達式，畫出來的樣子是這樣的。
心形線
等她的父親去世，公主成為了女王，她立刻來到法國尋找笛卡爾。只可惜，那個時候笛卡爾已經去世了。這個故事還被某礦泉水拍成了非常唯美的廣告，相信大家都一定看過。
某礦泉水廣告
據考證，上面那個悽美的故事，並不是真的。
克裡斯蒂娜女王生於1626年，在6歲的時候就已經繼承了王位，到18歲就開始了實際的統治。她被認為是那個年代最博聞廣識的女性，在她喜愛書籍、繪畫、和雕塑，對宗教、哲學、數學、和鍊金術也有濃厚的興趣。她吸引了一大批科學家，想要讓斯德哥爾摩成為「北方雅典」。
在她年輕的時候，經常與法國駐瑞典大使討論哲學，而笛卡爾是當時法國最有名的哲學家。出於對對笛卡爾的崇拜，克裡斯蒂娜邀請笛卡爾來瑞典。在1649年10月，笛卡爾應邀來到了瑞典，此時笛卡爾53歲，女王23歲，女王的父親早已經去世了，如果他們真的戀愛了，沒有人能夠阻止他們。
由於女王每天早上5點就起床了，笛卡爾也按照女王的時間，在早上5點到王宮的圖書館同女王討論哲學。瑞典處於北歐，冬天異常寒冷。幾個月後，笛卡爾患上了肺炎，1650年2月，笛卡爾因肺炎在瑞典去世。對他的去世，克裡斯蒂娜女王表示非常內疚。
也許，後人之所以演繹出這個故事，是因為偉大的哲學家、數學家笛卡爾終生未婚，聰明高貴的克裡斯蒂娜女王也終生未婚，最後，笛卡爾還因女王的邀請而去世，這多多少少會讓人浮想聯翩吧。
笛卡爾是著名的數學家，他對數學最重要的貢獻就是發明了解析幾何——一種可以把代數和幾何緊密聯繫在一起的數學分支。我們通常把直角坐標系叫做笛卡爾坐標系，它可以用一組坐標來表示一個點的位置。
笛卡兒坐標系
以二維笛卡爾坐標係為例：它由x軸和y軸組成，每一個點都可以用一對坐標(x,y)來表示，對應了這個點在x軸和y軸上的投影。一個解析表達式描述了x和y之間的一個關係（代數），滿足這個關係的點又可以在坐標平面上畫出（幾何），這樣就實現了代數和幾何的聯繫。
解析幾何表示的幾條線
比如，我在圖中畫出了三個解析式的圖像，它分別對應了兩條曲線和一個圓。
在幾何圖形上，我們可以看出：藍色的直線和紅色的直線相交，交點是A點，它的坐標是A（5，5），這就代表了下面的方程組的解：
我們同樣會發現，圓形和紅色直線不相交，這代表下屬方程組無解：
幾何問題可以變成代數問題求解，代數問題也可以轉化成幾何問題，這就是笛卡爾創立的解析幾何。
笛卡爾不光是一個數學家，也是一個物理學家和哲學家。他第一個提出：如果物體不受到任何外力的作用，它將會保持勻速直線運動，這幾乎已經準確的表述了牛頓第一定律。在他之前的科學巨匠伽利略的觀點是：物體的慣性運動是勻速圓周運動，因為在沒有發現萬有引力的情況下，很容易把天體圍繞太陽的運動看作是一種慣性運動。顯然，伽利略的說法並不準確。
笛卡爾認為：理性的思考比感覺更可靠。比如，我們如何能區分聽到、看到了真實的東西，還是我們在夢中產生了這種感覺呢？人無法完全區分睡夢的經驗與清醒的經驗。所以，感覺是可以被懷疑的，我們唯一不能懷疑的是我們正在懷疑這件事。由此，他得出了名言：我思故我在。
他還在著作中提出了四條思考的規則：
凡是我沒有明確地認識到的東西，我絕不把它當成真的接受。
把我所審查的每一個難題按照可能和必要的程度分成若干部分，以便一一妥為解決。
按次序進行我的思考，從最簡單、最容易認識的對象開始，一點一點逐步上升，直到認識最複雜的對象。
在任何情況之下，都要儘量全面地考察，儘量普遍地複查，做到確信毫無遺漏。
笛卡爾的思想深刻的影響了歐洲幾代人，他是當之無愧的西方哲學創始人之一。
說了這麼多，我們還是來談談最初的問題吧——心形曲線。儘管笛卡爾非常偉大，但是心形曲線貌似還真不是笛卡爾提出的。因為寫出心形曲線使用的坐標系並非直角坐標系，而是極坐標系，這個坐標繫到了後來的牛頓時代才為科學界熟知。
在極坐標下表示出的兩個點
極坐標系的意思是：將平面內任何一個點與原點連線，這個線段的長度叫做極徑r；極徑與水平向右的方向還有一個夾角θ，稱之為極角。只要給定一個點，我總能找到一個極徑r和極角θ，反之亦然，所以就可以用(r, θ)來表示坐標平面上的一個點了。
顯然，這種表示的方法與笛卡爾的直角坐標系是不一樣的。極坐標方程並不表示某個點橫縱坐標x與y的關係，而是表示極徑r和極角θ之間的關係。有些幾何圖形，用極坐標系表示起來非常方便。
比如半徑為1的圓形：r=1
玫瑰線：r=2sin(1-4θ)
阿基米德螺旋：r=0.1θ
以及，著名的心形線：r=a(1-sinθ)
我們把心形曲線和劇中情景對比一下：
你會發現幾個問題：
這部劇其實我還沒有看，但是身邊有好多朋友給我推薦了。還有人跟我說：看了這部劇之後恐慌了，難道高智商的人更容易變態麼？下一回我們就來討論一下這個話題。
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