在上一篇文章中,我們著重介紹了平行線拐角模型之鉛筆模型,本篇文章我們來繼續介紹拐角模型剩下的三個模型:豬蹄模型、臭腳模型和骨折模型,以及利用這三個模型進行解題。
01「豬蹄」模型
該模型類似英文字母「M」,我們稱之為M模型,也類似豬蹄,又稱之為「豬蹄」模型。滿足的條件為:點P在直線BC的左側,在直線AB與直線CD的內部。結論為:若AB∥CD,則∠P=∠B+∠C。證明的方法與上一篇「鉛筆」模型類似,我們提供一種思路進行驗證。
02「臭腳」模型
「臭腳」模型需要滿足的條件為:點P在直線BC的右側,在直線AB、CD外部。結論為:∠P=∠ABP-∠DCP或∠P=∠DCP-∠ABP。要證明這個結論,需要用到的知識點有:平行線的性質與三角形的外角等於兩個不相鄰的內角和。
當然,也可以利用作平行線的方法來進行證明。
03「骨折」模型
「骨折」模型需滿足的條件:點P在直線BC左側,在直線AB與直線CD外部。結論為:∠P=∠DCP-∠ABP。證明的方法與前三種模型類似,這邊不再重複證明,可以作任意一邊的平行線為輔助線,也可以利用平行線的性質與三角形的外角等於兩個不相鄰的內角和來進行證明。
04模型應用
例題1:(2019秋金鳳區校級期末)如圖1,已知AB∥CD,∠B=30°,∠D=120°;(1)若∠E=60°,則∠F=______°;(2)請探索∠E與∠F之間滿足的數量關係?說明理由;(3)如圖2,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延長FG交EP於點P,求∠P的度數.
例題2:(2019春梁園區期末)如圖1,AB∥CD,點E是直線AB、CD之間的一點,連接EA、EC.(1)探究猜想:①若∠A=20°,∠C=50°,則∠AEC=______.②若∠A=25°,∠C=40°,則∠AEC= ______.③猜想圖1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的關係,並證明你的結論.(2)拓展應用:如圖2,AB∥CD,線段MN把ABCD這個封閉區域分為I、Ⅱ兩部分(不含邊界),點E是位於這兩個區域內的任意一點,請直接寫出∠EMB、∠END、∠MEN的關係.
在利用模型解題前,我們首先要知道這些模型的基本結構,以及證明的過程(這是關鍵),不單單是記住結論,因為題目千變萬化,但是又萬變不離其宗,解題的思路是類似的。通過這兩道例題,我們也可以發現,遇到平行線拐角模型時,最常做的輔助線為:過拐點作已知直線的平行線。