「幾何線段成比例,構造相似成套路」搞定2020深圳中考數學壓軸題

2020-12-09 國哥說數學

在幾何題裡，看見線段成比例，八成是要構造三角形相似來解決問題。把這個當作一個思維套路，讓你在中考中脫穎而出。

下面來看一下深圳2020的填空壓軸題，題目靈活、新穎，不落俗套。會者不難，不會者無從下手。

中考真題

【2020年深圳中考填空壓軸題】如圖，已知四邊形ABCD，連接AC、BD交於O。已知∠ABC=∠DAC=90度，tan∠ACB=1/2，BO/OD=4/3，則SΔABD/SΔCBD=______________。

思路點撥

要求面積比，由於有一個公共底邊，因此問題轉換成求AO和OC的比值。此題有3個條件，1是2個直角，2是AB/BC=1/2，3是BO/OD=3/4。很顯然，突破口在如何利用第3個條件。通常來講，幾何題裡出現線段成比例，就要想辦法構造相似三角形來利用這個比例。順著這個思路，便不難想到做B到AC的垂線，構造出2個相似的直角三角形。

可見，作垂線構造出三角形相似，充分利用了線段成比例的條件，同時把另外2個條件很自然地利用起來。做題過程中，就不要像簡單題一樣去按部就班的設置什麼待定係數變量了，直接用數字，因為最終是求比例，待定係數最後總是會被「消元「的，所以直接假設數字，直觀、快捷。直接假設數字相當於待定係數就是1。

此外，本題還直接利用了射影定理的一個比較偏門的結論。就是斜邊的兩線段比值是兩對應直角邊比值的平方。這些比較偏門的結論雖然沒有在課本上列出來，但要把它當作「真正的定理「牢記在心，這樣，考試中的填空題、選擇題可以直接利用。

下面附上筆者整理的關於直角三角形射影定理的5個結論。

【總結】

壓軸題的目的就是把優秀的考生挑選出來，所以具有一定靈活性和難度是難免的。針對上面的題目，如果不能及時想到根據線段比例構造相似三角形，這個題就將是一道名副其實的難題。很多考生看完題後，手足無措，不知道如何下手，沒有任何有效思路，就可以理解了。可見，在平時的刷題過程中，要多自我總結一些解題的思想，或者說套路。

各位老鐵可以去看看其他中考題，凡是涉及線段比例的幾何題是不是相當一部分都和三角形相似的思路關聯起來。像這種思想，書本上是不會告訴你的，需要你自己去體會、總結。所謂，「只可意會，不可言傳「，就是這個道理。

另外，還有一個思想要牢記，99%的幾何題都需要做輔助線。很多同學在做幾何題時，沒有做輔助線的思維習慣，這是很吃虧的。做輔助線要大膽，勇於嘗試。有句話說到，一道幾何體，只要正確做出輔助線，題目就完成一半了。

口訣：幾何線段成比例，構造相似成套路

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