2020年高考數學北京卷21數列壓軸題解析

2020年北京卷高考數學導數和解析幾何難度都不大，考查的都是常見的題型，無需給出解析，試卷第21題數列壓軸題與前幾年的壓軸題目相比，難度降低了不少，數列作為壓軸題可與函數，導數，放縮，不等式等具體專題進行結合，具體考查某些相關題型時並不是很難，類似於江浙的數列壓軸題難點在於處理問題的數學邏輯和數學思想，即如何把一個散碎的非常規題目轉化為可用數學公式來表達的步驟，解決此類問題可比某些導數題型難多了。

條件1中的i,j,m均為整數，對於任意的i,j項，都有一個整數項與之對應，若數列不滿足條件1，只需要找到一個反例即可，很顯然(1)中當an=n時很容易找到反例，不滿足恆成立，即不滿足項數相除是一個整數。

關於(2),an是一個等比數列，相除即指數相減，指數相減之後依舊是整數，所以滿足性質1，至於性質2，若將所證等式變成an·al=ak·ak，在等比數列中，根據性質只需要保證n+l=k+k即可，即給定任意的n≥3，都存在對應的用n來表示的k,l

第三問證明滿足性質1,2的遞增數列為等比數列，此時根據等比數列通項公式可知要分為兩種情況，第一種為a1>0,q>1，第二種為a1<0,0<q<1，接下來需要分類討論，這裡只討論第一種情況。

若a1>0,數列單增，則an>0,性質2中n的取值為n≥3，首先考慮n=1,2,3時數列的性質，根據性質2可得數列的前三項成等比數列，且公比大於1，如下：

接下來需要想辦法把a4,a5，...表示出來，根據性質1令i=3,j=2,則根據前三項等比數列的性質可得：

可知a1·q³是數列中的某一項，令i=a1·q³,j=3帶入可得第二個式子，以此類推可知a1·q^3,a1·q^4,a1·q^5,...均為數列中的項，如果再能證明出a1·q^3=a4,a1·q^4=a5，...即可證明出數列為以a1為首項，q為公比的等比數列，證明時可採用放縮法：

根據性質2，取n=4，可設a4=a1·q^A,由數列單增可知a4>a3,即a1·q^A>a1·q²，所以A>2

又因為a1·q³為數列中的項，那麼如何確定a1·q³這一項的位置，顯然a1·q³>a3=a1·q²，

因為A>2,若a1·q³這一項放到a3和a4之間，符合要求的就只有a1·q³=a4，若a1·q³這一項放到a4後一項，則2<A<3，加上A取整數，滿足要求的只有a1·q³=a4，所以此時可證得a4=a1·q³,同理可證得其它項

所以可證得當a1>0,且數列單增時為公比為q的等比數列，另一種情況當a1<0時做法類似，不再給出。

綜上所述：數列為等比數列

其實題目的難度在於證明a1·q³和a3,a4的關係，根據單調性可知a1·q³肯定在a3後面，只需要判斷出a1·q³和a4的大小關係即可，如果不用上面設a4的方法，可用反證法，假設a1·q³>a4，再利用性質2和單調性證明假設不成立即可，過程如下：

總結：本題目的處理思路：

1.分情況討論

2.根據性質2找到前三項的等比關係

3.根據性質1找到數列中的其他項，並證明其他項依次滿足等比關係。

這種題目考查邏輯分析能力，與數列本身知識點關聯不大，屬於高考中難度較大的題目。