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最近一段時間分享了四道關於數列的題型：有時間就看一道高考數列題吧、從一道高考數列題探討數列前n項和求法、高中數學：你們要的帶放縮的數列題和高中數學：一道涉及新放縮方法的數列題。在這幾篇文章中，筆者總結了數列的通項公式、前 n 項和求法，以及有關數列放縮的一些典型方法。從這幾篇文章中我們能感覺到，數列題確實比較靈活，需要我們打開思路，運用學到的各種方法。但如果不作為壓軸題出現，也不會太難。今天，我們就看一道高考中作為壓軸出現的數列題，題目如下：
這道題是江蘇省 2019 年數學卷的最後一題（附加題除外），江蘇省高考試卷難度一般比其他省份稍難一丟丟（可能說這句話，部分省份的同學會不贊成），我們來看一下這道題。題目中定義了一個 "M-數列" ，其實這僅僅是一個定義，指的是公比為 1 ，公比為正數的等比數列。第一小題非常簡單，求出 {an} 的首項 a1 和公比 q 就可以了：
這樣，我們求出了{an} 的首項 a1 = 1, 公比 q = 2 > 0，所以 {an} 為 」M-數列「。 在之前的文章中筆者說過，就算是壓軸大題很難，高考中也不會讓你一分不得的，這一小問就是為了讓大部分人都能得一部分分，也就是老師常說的送分題。第二小題是一個獨立的題，跟第一小題無關。第二小題的第一小問讓我們求 {bn} 的通項公式，根據題目已知條件，我們直接使用之前說的最常規的做法：
有人算到這就感覺算不下去了，其實這裡面也只有三個量，堅持算下去會有柳暗花明的感覺的：
這樣我們得出了{bn} 是一個等差數列，已知 b1=1，我們把 b1=1 代入題目已知的關係式有：
所以得出 bn = n 。這裡算起來稍微有一丟丟複雜，但也沒達到算不下去的程度，如果你感覺實在算不下去了，你也可以算出前幾項來，然後觀察前幾項總結出通項公式，例如：
我們可以根據前幾項的值猜想 bn = n，然後再證明 bn = n 這個通項公式是正確的，很簡單，這裡就不證明了。我們接下來看第二小題的第二小問，這一問不是一個常規的思路，不能用我們平時討論的方法解決了，需要我們仔細分析題目：
根據題目的意思，我們只要能找到一個 q>0 滿足上述不等式組就可以了。只要我們能保證不等式組的右邊所有項都大於等於不等式組左邊的所有項，就說明我們可以找到這樣一個 q 。這個問題就變成了：我們找到一個最大的 m 使得不等式組的右邊所有項都大於左邊所有項：
我們只需要不等式組右邊的最小值大於等於不等式組左邊的最大值就可以了，接下來我們求一下左邊的最大值：
易知，當 x = e 時，f(x) 取得最大值，e 介於 2 和 3 之間，我們比較一下，分、 f(2) 和 f(3) 的大小：
所以左邊的最大值為 3^(1/3) ，接下來我們看右邊的最小值：
所以右邊是單調遞減的，我們取得最大的 m 使得 m^[1/(m-1)] 大於等於3^(1/3) 就可以了，很明顯 m = 4 時成立，我們從 m = 5 開始算：
當 m=6 時，已經不成立了，所以 m 最大可以取 5，這道題就完成了，第一小題和第二小題的前半段思路比較常規，也就是說，有套路可以遵循，但是後一小問就比較新穎，我們需要仔細分析題目的意思，然後找到正確的方法解決。
小結
近期，筆者通過幾個數列的題，總結了高考數學中數列題的一般做法，包括通項公式、前 n 項和，放縮的幾種常規做法。今天分享的這道數列題作為高考的壓軸題，還是有一定難度的，在碰到這種涉及定義新概念的題目，我們要仔細理分析題意，將問題轉化成平時學過的內容。以這道題為例，我們將題目轉化成求數列最大值和最小值問題，進而轉化成求函數單調性的問題，最終解決問題。
最後，用右手螺旋為你們點讚。