高中數學:你們要的帶放縮的數列題

2020-12-15 默契小甜瓜

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前幾天發了兩篇關於高中數學數列的文章,有同學談到題目不涉及放縮,難度只和浙江高考第一小問相當。今天我們來討論一道2019年浙江高考的數列真題,題目如下:

這一道題分值挺大的,但是沒有作為壓軸題出現。題目的第一問讓我們求 {an},{bn} 的通項公式,題目已知數列 {an} 為等差數列,又有 a3 = 4 ,a4 = S3, 所以很容易就能算出 {an} 的通項公式:

設 {an} 的公差為 d , 並將 a4 和 S3 都表示為 a3 ,代入a4 = S3 中,很容易算出 d = 2,所以 an = 2n + 常數 ,然後將 a3 = 4 代入得到 an = 2n - 2。題目又已知了Sn + bn, Sn+1 + bn, Sn+2 + bn 成等比數列,所以有:

其中 Sn 為等差數列 {an} 的前 n 項和,所以 sn = n(n+1)(sn很好求,這裡就直接給出結果了 ),並把 sn 代入上式有:

上面計算過程看起來很複雜,其實非常簡單,計算過程中充分利用小學就學到的分配律和結合律,計算就很簡單。這樣 bn 也算出來了,第一小問很簡單,沒有什麼難度。主要看第二小問,第二小問中通過 an 和 bn 構造出 cn ,並要求證明:

這裡就涉及到所謂的放縮了,放縮其實就是找到一個中間值,讓這個中間值大於(大於等於)不等式左邊的這個值,然後小於(小於等於)右邊的這個值,這往往是不容易的。首先我們觀察左邊 cn ,cn 的前 n 項和是求不出來的,所以我們考慮:

如果上面不等式成立的話,那麼說明只要 n 滿足不等式,那麼 n + 1也會滿足不等式,所以只需要 n=1 滿足不等式(顯然成立),所有的正整數 n 都會滿足不等式,上面的不等式就得證了,這是數學歸納法。接下來的關鍵是上面的不等式是不是成立的,我們觀察不等式的兩邊:

仔細觀察之後,不難發現這個中間值就是:

這是因為:

所以有:

顯然第一項滿足不等式,無論是用數學歸納法,還是將 不等式的兩邊求 n 項和都能證明不等式,這裡就不贅述了。

小結

這是一道浙江省2019年高考數學真題,第一小問比較常規,大部分考生都能做出來,第二小題稍微有一點拔高,但是也不是很難,儘管涉及到數列的放縮了,但相對還是比較簡單的,高考中,如果數列題沒有出現在壓軸題位置的話,一般也不會太複雜。就算是壓軸大題,就算我們有不會做的時候,也不至於一分不得。

放縮的本質是找到一個合適的中間值,而找這個中間值需要我們仔細對比不等式是兩邊,碰到本次這種不能直接求和的情況,最好化成單項進行比較。

每天一贊:為因為疫情不能上學,在家還堅持學習的你們點讚,為即將參加高考的同學們加油。你們最愛的右手螺旋點讚,更多左右手定則,請參考高考物理中的左右手定則,超全超實用

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