不落俗套的江蘇數列和統計壓軸大題

江浙高考真題向來不落俗套，題目難易結合很有區分度，特別是後面的壓軸題出的很有水平，如果把高考試題比作武功，全國卷中的題目就好像是具體的一拳一掌具體的外家功夫，勤學苦練必有所成，但江浙的高考題特別是最後的壓軸題更像是沒有招式只有心法的武功，理解就頓悟了，記得有一年葛神出了一次全國卷，那次高考數學哀鴻遍野，其實就是把常規的套路題目轉化為需要邏輯思考的題目，但全國卷的考試顯然不適應，當江浙取消自主命題後，原來的全國卷必定會改革，不再是以套路題目為主，更多會向這種需要思考分析的題目轉變。

歷來這個公眾號中對高考真題解析推文的閱讀量都不高，可能有很多人認為與自己無關，但如果你習慣某種題目，思維就會僵化，遇到新題目將不知道如何下手，多看一些外省的題目開闊一下眼界是一件很不錯的事情，且推文中絕對不是簡單的高考真題答案羅列，懂得人自然懂。

這種下定義的題目在江浙滬中很常見，越是這種題目考查純數學領域知識點就越少也越淺，更多考查的是對題目的分析理解以及對數學的應用能力，就像上次推送中的江蘇導數壓軸題，導數就成了簡單的用來求最值的工具而已。

前兩問很簡單，第二種將λ和k帶入後會得到一個關於數列前n項和以及通項公式的遞推形式，求an很顯然需要統一形式，將an變為Sn後化簡即可，此時的次數為½此次，很容易想到平方，這也給第三問提供了思路，第三問中出現了⅓次，類似的可以用立方來處理。

第一個紅框中需要討論約去的部分是否為零，當不為零時題目轉化為一個二次函數有兩個正實根的問題(根不取1，否則重複)，解題時討論二次函數的開口方向，這裡注意兩根之積為1，有的同學會想到直接用兩個之和大於零即可，但這種會出現二次函數與x軸只有一個交點的情況，不符合要求，需要結合判別式對稱軸和特殊點來確定。

總體來說這個題目不算難，用到的更多是函數的思想，純數列知識用的並不多。

解析：(1)p1表示交換一次之後，甲口袋有2個黑球，此時對應的情況是甲選一個白球，乙選一個白球進行交換，因為乙選白球的概率為1，只需考慮甲的情況即可；q1表示交換一次之後，甲口袋有1個黑球，即甲選出一個黑球，乙選出一個白球進行交換。

p2表示交換兩次之後，甲口袋有2個黑球，此時有兩種情況：

case1.第一步甲選出一個白球，乙選出一個白球交換，第二步還是甲選出一個白球，乙選出一個白球交換。

case2.第一步甲選出一個黑球，乙選出一個白球交換，第二步甲選出一個白球，乙選出一個黑球交換。

q2表示交換兩次之後，甲口袋有1個黑球，此時有三種情況：

case1.第一步甲取白，乙取白，第二步，甲取黑，乙取白

case2.第一步甲取黑，乙取白，第二步，甲取白，乙取白

case3.第一步甲取黑，乙取白，第二步，甲取黑，乙取黑

(2)第二問是一個很值得思考的題目，pn表示重複n次甲口袋有2黑球，p(n-1)表示重複n-1次甲口袋有2個黑球，q(n-1)表示重複n-1次甲口袋恰有1個黑球，所以關鍵是第n次重複使得滿足要求即可，此時有兩種情況。

case1.在p(n-1)的情況下，第n次重複從甲中取白球，從乙中也取白球，這樣pn即為重複n次後有兩個黑球。

case2.在q(n-1)的情況下，即此時甲有1黑2白，乙有1黑2白，第n次只需要從甲中取白球，從乙中取黑球即可，因此：

再看qn,qn表示重複n次之後甲口袋恰有1黑球，p(n-1)表示n-1次重複之後甲有2個黑球，q(n-1)表示n-1次重複之後甲有1個黑球，所以對應的也是三種情況：

case1.在p(n-1)的情況下，第n次重複從甲中取黑球，從乙中取白球，這樣qn恰為第n次甲中只有一個黑球

case2.在q(n-1)的情況下，第n次從甲取白球，乙中取白球，或者甲中取黑球，乙中也取黑球

case3.若重複n-1次之後甲有3個白球，乙有2黑1白，對應的是1-p(n-1)-q(n-1),第n次重複即從甲中取白球，乙中取黑球，因此： 【這裡很容易忽略第三種情況，需要特別留意】

這個題目在高考這種環境下難度還是很高的，解題時一定要清楚pn,qn表示什麼意思，因為甲乙總共就有2個黑球，pn表示有2個黑球的情況，qn表示有1個黑球的情況，甲中沒有黑球的情況即為1-pn-qn，如果明白這個在上面就不會忽略掉第三種情況了。

從數學的角度來看，題目重在邏輯思考，解題時還結合了數列根據遞推公式求通項公式的做法，相比於全國卷中常規的概率大題，這個題目出的相當好。

好好研究2020年高考真題中的所有題目，特別是難度中上的題目，對2021年備考絕對會有很大的幫助，希望你能好好利用曹老師整理出來的這些內容。