極富創造性的17世紀，突破古希臘傳統，進入新數學領域

17世紀是一個由中世紀到新時代過渡的時期，資本主義社會取代歐洲封建社會，生產力得到極大的解放。而社會經濟的發展、生產技術的進步促使自然科學的各學科迅猛發展：

• 航海方面，為確定船隻位置，需要更精密的天文觀測；
• 工業方面，機械的生產方式，要求工業資產階級掌握機械生產的技術；
• 軍事方面，彈道學成為中心課題；
• 準確計時器的製造，運河、堤壩的修築，行星的橢軌道理論等，都需要複雜的計算。

這些各學科的新課題，已經不能通過古希臘以來的初等數學得到解決。自然科學的發展使數學進入了一個極富創造性的時代，湧現出許多嶄新的數學領域。

化簡天文計算

蘇格蘭的納皮爾多次改進數字計算方法，製造的「納皮爾算籌「化簡了乘法和除法運算，並用加法代替乘法，用減法代替除法。為化簡複雜的天文計算，通過幾年時間研究運算體系，根據非常獨特的、與質點運動有關的設想構造出對數方法，其實質表現為算術級數與幾何級數之間的聯繫。納皮爾在《奇妙的對數表的描述》中闡明了對數的原理。

瑞士數學家、克卜勒的助手比爾吉也獨立地發現了對數，其對數體系相當於以e為底的自然對數。除此之外，他還造出了等差與等比數列對比的表，證明了等比數列各項的乘法、除法、乘方和開方運算等，可用等差數列的與之相應項的加、減、乘、除來代替。他建立的對數體系相當於以e為底的自然對數。

法國大數學家拉普拉斯曾高度評價對數的意義：「對數的發現，簡化了天文學家的工作，延長了他們的壽命。」

新幾何：射影幾何

17世紀，幾何學發生了重大變革，其一是射影幾何的建立，其二是解析幾何的創立。文藝復興時期建立起來的透視法在17世紀得到新的發展，其基本思想是投影和截面取景原理。人們在此基礎上，提出了一系列新的回題，比如：一個實物的原形與截景之間有什麼共同的幾何性質？一個原形的兩個不同截景之間有什麼共同的性質？

法國數學家德扎格對新問題進行了大量研究，引進無窮遠點、無窮遠線等概念，討論極點與極線、透視、透影等問題。其著作《圓曲線論稿》更是奠定了射影幾何的堅實基礎。對射影幾何做出貢獻的重要人物還有帕斯卡，他用投影法來研究圓錐曲線，在1640年寫出著名論文《圓錐曲線論》，這是自阿波羅尼奧斯以來圓錐曲線論的最大進步。但直到18世紀末，德扎格和帕斯卡的工作才被人們認識到是幾何學一個新分支的開端，到19世紀這個分支被稱為射影幾何學。

概率論

促進概率論發展的有三個事物：保險事業的發展；與博弈有關的特殊問題；賭博中，骰子點數的概率問題。

比如16世紀，一些義大利的學者開始研究賭博中，比較擲兩枚骰子出現總點數為9或10的可能性大小的問題。17世紀中葉，法國數學家帕斯卡、費馬及荷蘭數學家惠更斯等人，利用排列組合的方法研究了一些複雜的賭博問題，如一個賭徒提出的「合理分配賭注問題」。後來惠更斯發表最早的概率論著作《論賭博中的計算》。在之後的200多年間，瑞士數學家雅各布·伯努利、法數學家泊松和拉普拉斯等人將概率論發展成為應用廣泛的數學分支。

解析幾何：進入變量數學時代

解析幾何的創立，是17世紀最重要的數學成就之一，標誌著變量數學時代的開啟。克卜勒發現行星沿橢圓軌道繞太陽運動，伽利略發現拋出去的石子沿拋物線軌道飛行等問題需要新的有力幾何學工具。

笛卡爾是17世紀最傑出的哲學家和自然科學家之一，他試圖把算術、代數、幾何統一起來，建立一種普遍的數學。基於這種動機，他創立解析何學，在《幾何學》中闡明了解析幾何的原理，後人把它作為解析幾何的起點。在《幾何學》中，第一次出現變量與函數的思想。笛卡爾所謂的變量，指具有變化長度和不變方向的線段，還指連續經過坐標軸上所有點的變化的數。

法國數學家費馬繼續了韋達用代數來解幾何問題的方法，對軌跡問題進行深入研究。在其《平面與立體軌跡引論》中討論直線、圓和圓錐曲線，提出一種軌跡理論，其中闡明了解析幾何的原理：「由兩個未知量決定的一個方程，它對應著一條軌跡，即一條直線或曲線。」

雖然笛卡爾和費馬所使用的坐標系是不完善的，但他們的工作邁出了超越希臘幾何學的最重要的一步。

微積分

解析幾何的創立改變了整個數學的面貌，最直接的影響就是17世紀最光輝的數學成就：微積分的創立。

微積分的思想萌芽可以追溯到古希臘時代，阿基米德的工作中就孕育著定積分的思想。在17世紀，最早研究體積問題的是德國天文學家、數學家克卜勒，他利用「無限小元素法」求出近百個旋轉體的體積。在克卜勒的影響下，卡瓦列裡也開展了這方面的研究。他把「無限小元素法」發展成純粹的幾何方法，提出了著名的「不可分原理」，由此求出一些面積的值。他的這些帶有普遍性的結果，對定積分計算方法的建立產生了積極的影響。義大利數學家託裡切利、英國數學家沃利斯、法國數學家帕斯卡、費馬和羅貝瓦爾等人都力圖把卡瓦列裡的不可分原理算術化，或者給出較嚴格的證明。在17世紀，關於求曲線切線的問題，最先發表的是笛卡爾的關於法線的作法，後來他又給出另一種作法，其實質是把切線看成割線的極限位置。費馬在他的論文《求極大值與極小值的方法》中，給出了利用「準等式「求極值的著名方法，相當於建立可微函數取極值的必要條件。他還利用同樣的方法求出了平面線的切線。羅貝瓦爾和託裡切利從運動學的角度來研究曲線切線的作法，他們把曲線視為質點運動的軌跡，而質點的運動則看成是鉛直運動和水平運動的合成。如果這兩個運動的大小和方向已知，則其合成運動的大小和方向由平行四邊形法則來確定。牛頓的老師、英國數學家巴羅在他的《幾何學講義》中，也研究了切線的作法。他利用「微分三角形」把切線的斜率定義為函數增量和自變量增量這兩個無窮小量的比。他還給出了表明曲線的切線問題和求積問題之間的互逆關係的一個定理，但可惜他沒有認識到它的重要性，牛頓和萊布尼茨的先驅者們為微積分的創立做了大量的工作，但是他們都沒能揭示出微分和積分的內在聯繫。最後這關鍵的工作是由這兩位大師完成的。

早年的牛頓在劍橋得到巴羅的指導，通過對笛卡爾、沃利斯和巴羅等人著作的研究，刺激和促進了微積分的發現。從運動學的角度，牛頓認為變量就是量的連續運動，只是他稱變量為流數，稱其變化率為流率，他的創造性工作在1665一1666年完成，主要體現在《運用無窮多項方程的分析學》、《流數法與無窮級數》等小冊子中。牛頓關於微積分的基本論著完成之後，他所發明的微積分經過很長時間，才首次公開在巨著《自然哲學的數學原理》中發表。

1675年前後，萊布尼茨得到微積分的要領。從幾何學的角度考慮問題，研究了巴羅等人的著作，意識到微分和積分是互逆的過程。他把微分看作是變量相鄰二值的無限小的差，而積分則以變量分成的無窮多個微分之和的形式出現。萊布尼茨關於微積分學的最早論文《一種求極大、極小值與切線的新方法》於1684年發表在《學藝》雜誌上。他所創立的優越符號對微積分的傳播和發展有很大影響。現在所使用的微積分符號等就是布尼茨創始的。他的微積分為伯利家族和歐拉等數學家所繼承，在18世紀得到發揚光大。

17世紀的數學是沿著希臘數學的傳統，又衝破傳統將其超越，使數學向代數化方向前進，同時數學和自然科學緊密聯繫。伽利略確定的實驗科學和理論力學，為牛頓開闢了道路，促進了數學的發展，也確立了數學在自然科學中的地位。數學知識在17世紀得到廣泛的交流和傳播，意、法、英、德、俄等國相繼成立了科學學會或研究院。這些機構所創辦的科學刊物成為交流新科學思想的重要工具，所有這一切都為18世紀的數學繁榮準備了條件。