314圓周率日特獻:π究竟牛B在哪裡?

2020-12-14 觀察者網

今天是3月14日。而圓周率π就約等於3.14，因此這一天被設為了圓周率日。世界各地的數學家和數學愛好者們歡聚一堂，歌頌讚美這個數學世界中的奇蹟。

大家或許會好奇，π究竟哪點吸引人了，能夠讓數學家們對它痴迷到如此地步？其實，π本身的存在就是一個奇蹟：不管一個圓有多大，它的周長和直徑之比總是一個固定的數，它就是3.141592653589793…，是一個無限不循環小數。我們把這個數就叫做圓周率，用希臘字母π來表示。在幾何問題中，圓周率扮演著非常重要的角色；然而更神奇的是，它也馳騁於幾何以外的其它數學領域。

布豐投針實驗

在地板上畫一系列間距為2釐米的平行線，然後把一根長度為1釐米的針扔在地板上。那麼，這根針與地板上的線條相交的概率是多少呢？1733年，法國博物學家布豐（Comte de Buffon）第一次提出了這個問題。1777年，布豐自己解決了這個問題——這個概率值是1/π。

這個問題可以用微積分直接求解，也能利用期望值的性質得到一個異常精妙的解答。即使我們現在已經能輕易求出它的答案，結論依然相當令人吃驚——在這個概率問題上，竟然也有π的蹤影。有人甚至利用投針法，求出過π的近似值來。

斯特林近似公式

我們把從1開始一直連乘到n的結果稱作「n的階乘」，在數學中用n!來表示。也就是說：

1733年，數學家亞伯拉罕•棣莫弗（Abraham de Moivre）發現，當n很大的時候，有：

其中c是某個固定常數。不過棣莫弗本人並沒有求出這個常數的準確值。幾年後，數學家詹姆斯•斯特林（James Stirling）指出，這個常數c等於2π的平方根。也就是說：

這個公式就被稱作斯特林近似公式。

伽馬函數

階乘運算本來是定義在正整數上的，但我們可以很自然地把它擴展到所有的正數上——只需要尋找一條經過所有形如（n, n!）的整格點的曲線就可以了。由此定義出來的函數就叫做伽馬函數，用希臘字母Г來表示。好了，神奇的事情出現了。我們有這樣一個結論：

π再次出現在了與幾何毫無關係的場合中！

平方數的倒數和的極限

1的平方分之一，加上2的平方分之一，加上3的平方分之一，這樣一直加下去，結果會怎樣呢？這是一個非常吸引人的問題。

從上表中可以看到，越往後加，得數變化幅度就越小。可以預料，如果無窮地加下去，得數將會無限接近於某一個固定的數。這個數是多少呢？

1735年，大數學家歐拉（Euler）非常漂亮地解決了這一問題。神奇的是，這個問題的答案裡竟然包含有π：

兩個整數互質的概率

如果兩個整數的最大公約數為1，我們就說這兩個數是互質的。例如，9和14就是互質的，除了1以外它們沒有其它的公共約數；9和15就不互質，因為它們有公共的約數3。可以證明這樣一個令人吃驚的結論：任取兩個整數，它們互質的概率是6/π2，恰好是上面一個問題的答案的倒數。在一個純數論領域的問題中出現了圓周率，無疑給小小的希臘字母π更添加了幾分神秘。

歐拉恆等式

這是整個數學領域中最偉大，最神奇的公式：

這個公式用加法、乘法、乘方這三個最基礎的運算，把數學中最神奇的三個常數（圓周率π、自然底數e、虛數單位i）以及最根本的兩個數（0和1）聯繫在了一起，沒有任何雜質，沒有任何冗餘，漂亮到了令人敬畏的地步。這個等式也是由大數學家歐拉發現的，它就是傳說中的歐拉恆等式（Euler’s identity）。《數學情報》雜誌（The Mathematical Intelligencer）曾舉辦過一次讀者投票活動，歐拉恆等式被評選為「史上最美的公式」。

然而，這些也都只是數學這個奇妙大世界的其中一角罷了。

（作者：matrix67）

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