數學是人類文明的重要標誌之一，「數學」的概念遠遠早於文字。說句官話，「數學是勞動人民在生產實踐中發明創造的」。下圖是考古學者在剛果發現的一截猴骨，上面刻有三列、16組痕跡，距今2萬多年。雖然人們不清楚這些刻痕的意義，但這些「數字」有自己的規律。比如，第一列的和、第三列的和都是60，一個甲子。不難想像，當文明發展到一定程度時，比如想知道多少天后月亮又圓了，數字和數學必然會來到人間。
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一萬二千年前，兩河流域開始進入新時期時代，出現農業、畜牧業，人們開始定居。自然而然，在生產實踐中人們對數學的需求越來越多。根據目前發現的文物，人們有理由相信數學起源於兩河流域和埃及。而兩河流域和埃及數學雖然有不少相同之處，但他們又有各自的特點。埃及注重實用，而兩河的數學難度大，理論水平更高。
尼羅河下遊每年定期發大水，帶來了淤泥和肥料。水退去後，埃及人開始播種，之後無需更多的管理，靜等收穫。這種大自然的恩賜也帶來了一個小小的問題，埃及人每年必須重新測量被大水淹沒的自家土地。另外，埃及人在建造金字塔時，必須計算土方和需要的石塊數量，以及計劃相應的運輸。在生產實踐中，埃及人有了面積和體積的「定義」，創造了乘與除的「算法」以及如何求解「方程」。
各種語言中都有表示「數」的文字，比如「百」「千」等數量詞。「五百七十」清楚表示了數的大小。但是，必須強調的是，五百七十歸根結底是「文字」不是「數字」。數字是用於表示數目大小的「專用符合」，能參與運算。今天全世界都在用的0到9十個「數字符號」是印度在2千年前發明的。而5000年前的埃及數字當然還非常原始。
數字「1」就是一豎，數的寫法本身是加法。從而相加相減無師自通。應該說清楚的是，埃及數字雖然是「十進位」，但它是「自然十進位」。人有十個手指，每次用手數到十後就數不下去了，只有做個記號才能繼續數，這裡做個記號實際上是「進位」。顯然「自然十進位」與我們今天使用的、含有「0」和「位數」的十進位有本質區別。
數字的出現不僅因為記錄的需要，更是因為計算的需要。換句話說，沒有數字就沒有計算。那時的計算過程不過是加減乘除和開根號。乘法是加法的自然延伸，除法出自減法。這種邏輯關係在埃及的乘法運算過程中非常清晰。除法中會出現除不盡的情況，所以埃及人發明了分數。
下面的例子解釋了埃及乘法，比如47乘24，表中第一列是47每次翻倍的數值，即下一列等於自己加自己，第三列從1開始，下一列也是自己的倍數；「1」，「2」和「4」等。接下來要在第三列中「找出」24是哪幾個數的和，答案是8+16。我們在中間一列「8」和「16」的旁邊坐上記號「0」。47乘24的答案是376+752。
按今天的寫法，埃及乘法的數學意義一目了然：47*24=47*（8+16）=376+752。與今天小學生都會寫出的算式相比，埃及乘法異常複雜。但是，人類歷史上最早的「算法」誕生了。這裡令人驚嘆的地方在於，埃及人知道任何一個數都可以用數列2^（n-1）中若干項的和表示。這裡已經埋下了數論的種子。
除法是乘法的逆運算，基礎是減法。比如，329除以12.下表中第三項「1,2,4,8」等，與乘法表中的第三列一致。第一列是除以12的倍數，24，48, 96等。329除以任何整數的結果肯定比329小，所以第一列最大的數是寫到384為止。與乘法一樣，運算過程也需要「湊合」。用被除數329試著逐個減第一列的數，從大數開始。329減192得137，137再減96得41。41比48小，不夠減時直接跳過去，並在中間一列不寫記號「0」。41減24得17,17減12得5。
寫成現在的算式：
不難看出，當數字很大時埃及乘除法計算複雜。實際上，在印度記數法和相應的乘除法傳到世界各地前，「會算術的人」寥若晨星。
至今發現的埃及莎草紙文書中，含有大量的數學內容。下面介紹兩份數學文獻。
萊因德文稿是3600年前用墨水寫在莎草紙上的「數學教材」，作者寫明文稿是他從另一本200年前的書中抄寫的。說明萊因德文稿至少反映了埃及3800年前的數學水平。文稿長5米44，寬33釐米。先給出具體問題，再給出解釋過程和答案，內容涉及分數簡化，解方程，面積和體積的計算，共84個問題。文稿中出現的圖形有圓、正方形、等腰三角形等。圓面積等於直徑九分之八的平方，換算後圓周率為3.16。
萊因德文稿第70題，計算100除以（7+1/2+1/4+1/8）。過程與上面的除法相似，很精彩。計算結果為12+2/3+1/42+1/126。那時，埃及對分數的寫法非常講究，除了三分之二和四分之三有兩個專用符號外，其他分數的分子統統必須是1.所以，莎草紙文獻中有很多分數簡化表。
現在小學四年級學生都知道方程ax=c（a和c是常數，x代表未知數）的答案是c/a，但是四千年前的埃及人還不知道答案如此簡單。但是埃及有自己解方程的算法，先「湊」再算。即，先任意估計一個答案x1，算出結果「c1」（=a·x1）。則x=x1·c/c1。這說明埃及人很聰明？還是很笨呢？
萊因德文稿中24題：一個數加上它的七分之一等於19，問該數等於多少。文稿給出了詳細的計算步驟。埃及解方程的試算法在漢代的《九章算術》中，不過時間上晚了1700年。
與萊因德文稿同負盛名的是莫斯科文稿。當年被俄國人買下現存放在莫斯科，由此得名。莫斯科文稿比萊因德文稿要早200年，但兩份文稿長度，都是5米44。說明當時莎草紙在埃及已經批量生產。有文獻記載，因為巴比倫不時武力挑釁，埃及後來禁止莎草紙出口，這是題外話。
莫斯科文稿第6題：長方形面積為12，寬是長的四分之三，問邊長是多少。這實際上是解一元二次方程，說明埃及人已經會開方。當然，肯定還是「湊」。
莫斯科文稿中最有名的題目是：正方形底邊長4，正方形頂邊長為2，正四稜台高為6，問體積是多少。作者給出了答案和解答過程。這意味著，3800年前埃及人已經知道正四稜台的計算公式是1/3（a2+ab+b2）h。
如果你靜下心來仔細想一想，這一結果令人驚奇。因為公式中含有「面積」和「體積」的定義，即如何定量的描述面積和體積。3乘2在數值上等於3個2相加。長方形邊長分別等於3和2時，其面積也等於3乘2。都是3乘2，但此「乘」和彼「乘」有本質的不同。計算面積的「乘」已經不是3個2相加的「乘」。對埃及人來講，矩形面積的計算已被「定義」為邊長相乘。同理，先有幾何意義上「體積」的概念，然後才有體積計算：面積乘「高」。
莫斯科文稿中共有25個問題。與萊因德文稿不一樣，其問題並不按照內容分類，而且文稿上有評語，比如「這題做對了」等。所以有人認為莫斯科文稿是考試卷。
按今天的說法，3800年前埃及已經有了「狂草」。顯然，書寫體大大簡化了書寫的難度。埃及人用來寫字的筆也是一種空芯的草，類似毛筆。
4000年前埃及數學主要是解決生產勞動中出現的具體問題，還沒有「理論」。英語「GEOMETRY」出自希臘語，意思是土地測量。希臘人在公元前7世紀全盤繼承了埃及和兩河流域的數學、幾何知識。到公元前3世紀，歐幾裡得《幾何原理》問世，人類科學史上第一部裡程碑式的巨作終於大功告成。毫無疑問，歐幾裡得是站在了巨人的肩膀上。
特別鳴謝中科院自動化所王飛躍教授的推薦，本文原載於歐洲新報。
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