數學家約翰·伯努利在數學領域的貢獻

2020-08-28 西南數學之家


數學家約翰·伯努利

約翰·伯努利(1667年8月6日 - 1748年1月1日)是瑞士著名的數學家家族--伯努利家族中的一員,是老尼古拉·伯努利(Nikolaus Bernoulli，1623-1708)的第三個兒子，雅格布·伯努利(Jakob Bernoulli)的弟弟。約翰·伯努利因其對微積分的卓越貢獻以及對歐洲數學家的培養而知名。

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約翰·伯努利幼年時他父親象要求雅格布一樣，試圖要他去學經商，他認為自己不適宜從事商業，拒絕了父親的勸告。1683年進入巴塞爾大學學習，1685年通過邏輯論文答辯，獲得藝術碩士學位.接著他攻讀醫學，1690年獲醫學碩士學位，1694年又獲博士學位。

約翰在巴塞爾大學學習期間，懷著對數學的熱情，跟其哥哥雅格布秘密學習數學，並開始研究數學.兩人都對無窮小數學產生了濃厚的興趣，他們首先熟悉了G.W.萊布尼茲(Leibniz)的不易理解的關於微積分的簡略論述。正是在萊布尼茲的思想影響和激勵下，約翰走上了研究和發展微積分的道路。

1691年6月，約翰在《教師學報》(Acta eruditorum)上發表論文，解決了雅格布提出的關於懸鏈線的問題.這篇論文的發表，使他加入了C.惠更斯(Huygens)、萊布尼茲和I.牛頓(Newton)等數學家的行列。

約翰生活在17世紀下半葉到18世紀上半葉.這一時期數學上最突出的成就就是微積分的發明與發展.由微積分的創立，又產生了數學的一些重要分支，如微分方程、無窮級數、微分幾何、變分法等。18世紀數學家的主要任務是致力於這些學科分支的發展，而要完成這些任務，首先必須發展、完善微積分本身。約翰就是一個對微積分和與其相關的許多數學分支都做過重要貢獻的人，是18世紀分析學的重要奠基者之一。約翰寫了世界上第一本關於微積分的教科書，積分學部分於1742年出版，微分學部分直到1924年才出版。

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摺疊微積分學

約翰首先使用&34;這個詞，並且使函數概念公式化.1698年他從解析的角度提出了函數的概念:&34;，記作X或ξ，1718年他又改用φx表示x的函數.記號f(x)是歐拉於1734年才引進的.約翰對一些具體函數進行過研究，除一般的代數函數外，他還引入了超越函數，即三角函數、對數函數、指數函數、變量的無理數次冪函數及某些用積分表達的函數.指出對數函數是指數函數的反函數.

約翰對微積分的貢獻主要是對積分法的發展.他曾採用變量替換來求某些函數的積分，在1699年的《教師學報》上給出了用變量替換計算積分

約翰還提出了現在微積分中的一個著名定理--洛比達定理(或法則)，它是用導數求一個分式當分子和分母都趨於零(或無窮大)時的極限的.這個定理是由他的學生洛比達在1696年編寫的一本非常有影響的微積分教材《無窮小分析》(Analyse des infi-niment petits)中引入的，後稱為洛比達法則.這個法則實際上是1694年約翰給洛比達的信中告訴洛比達的.

1742年約翰出版了他的著作《積分學教程》(Lections mathe-maties de method integralium)，在這本書中約翰匯集了他在微積分方面的研究成果，他不僅給出了各種不同的積分方法的例子，還給出了曲面的求積，曲線的求長和不同類型的微分方程的解法，使微積分更加系統化.這部著作成為微積分學發展中的一本重要著作，在當時對於推動微積分的發展和普及微積分的知識都起了積極的作用.

摺疊微分方程

微積分的迅速發展和應用，必然導致了微分方程這門新學科的誕生.其實微分方程的發展是與微積分的發展交織在一起的.約翰在這方面也是一位開拓者.

1691年6月約翰在《教師學報》上發表文章，解決了他哥哥雅格布提出的&34;問題，即&34;.約翰設法列出了該問題的微分方程

其中s是由B點到任一點A之間的弧長，而a是A點處繩的張力在水平方向的分量與單位繩長重力的比值.通過解此方程就得到懸鏈線的方程

在此基礎上，約翰與雅格布還在1691-1692年間解決了懸掛著的變密度非彈性軟繩、等厚度的彈性繩、以及在每一點上的作用力都指向一個固定中心的細繩所形成的形狀的問題.

約翰和萊布尼茲在1694年引進了找等交曲線族的問題，即找一曲線或曲線族，使得與已知曲線族相交成給定的角.約翰稱等交曲線為軌線.他將這個問題作為向雅格布的一個挑戰.雅格布只解決了一些特殊的實例，約翰導出了一特殊曲線族的正交軌線的微分方程，並在1698年找到了它的解.這個問題後來由萊布尼茲與雅格布的學生J.赫曼(Jacob Hermann)得到較完美的解決.

在求解1695年雅格布給出的&34;

y′+P(x)y+Q(x)yn=0

1727年，約翰在一篇論文中研究了弦振動問題，考慮一根無重量的彈性弦，在弦上等間隔地放置著n個等質量的質點，當放置6個質點時，從而證明了在任何時刻弦的形狀必定是正弦曲線.這一事實也出現在約翰給他的兒子丹尼爾的信中.約翰後來還解決了一個拋射體在阻力正比於速度的任何次冪的介質中運動的問題。


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