「給值求角」問題的求解分為兩步走,缺一不可:
(1)根據題設條件,求角的某個三角函數值;
(2)討論角的範圍,必要時,還需根據已知三角函數值縮小角的範圍,從而確定角的大小.
這兩步,缺一不可.若只滿足步驟(1),三角函數值相同的角無法確定,有無數多個;若僅知道角的範圍,角的值顯然也無法確定.至於這兩步的先後順序可隨意.本文筆者想通過一些例題來加以說明,希望能給大家一些啟示.
例1，(1)已知x、y、z均為銳角,且 sinx + sinz =siny, cosx -cosz =cosy。求x-y的值;
(2)已知tan(α-β）=1/2, tanβ=-1/7。且α、β∈（0，π）,求2α-β的值.
解析:(1)由已知得
sinx + sinz =siny ①;
cosx -cosz =cosy ②.
①+②得, 2-2cos(x-y)=1
∴cos(x-y)=1/2。
又∵0＜x＜π/2, 0＜y＜π/2, -π/2＜x-y＜π/2,
∴x-y=±π/3,但由於0＜y＜π/2,由①知siny + sinx =sinz>0 ,
於是y>x , ∴x-y=-π/3
(2)∵2α-β=2(α-β)+β, 又∵tan(α-β）=1/2,
從而 tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]
又 tanα= tan[(α-β)+β]
且0＜α＜π, ∴0＜α＜π/4, 得到0＜2α＜π/2,
又∵tanβ=-1/7<0, 且β∈（0，π),
所以π/2＜β＜π, 得到-π＜-β＜-π/2,
從而有-π<2α-β<0; 故2α-β=-3π/4。
點評:本題的關鍵是將所求的角用已知角或特殊角表示,易錯點是對角的範圍進行討論.對2α-β的取值範圍,估算要精確,範圍過大,容易產生錯誤,只有對條件進行深入「挖掘」,才能準確推導角度的取值範圍.
例2, 已知cosα=1/7,cos(α-β)=13/14,且0＜β<α＜π/2;
(1)求tan2α的值. (2)求β.
解析:(1)由cosα=1/7,0＜α＜π/2,得,
於是
(2)由0＜β<α＜π/2, 得0＜α-β＜π/2; 又∵cos(α-β)=13/14,
由β=α-(α-β),得
cosβ=cos[α-(α-β)]=1/2,所以 β=π/3.
點評:本題要注意角β=α-(α-β)的配湊.
例3.已知tanα=1/3,tanβ=2, tanγ=3/4,且α,β,γ∈(0，π/2）,求α+β-γ的值.
解析: tan(α+β)=
又 tan(α+β-γ)=
由α,β,γ∈(0，π/2）得α+β∈(0，π）,-π/2<γ<0,
所以-π/2<α+β-γ<π。
由 tan(α+β-γ)=1, 故α+β-γ=π/4。
點評:本題主要通過α,β,γ的正切值,然後求出 tan(α+β-γ)的值,再根據角 (α+β-γ)的範圍求出角.
例4.是否存在銳角α和β,使得:(1)α+2β=2π/3;
同時成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,說明理由.
解析:由(1)得α/2+β=π/3;
將(2)代入上式得:
所以 tan（α/2）， tanβ 是一元二次方程
的兩根,解之
若 tan（α/2）=1, 因為α為銳角，0<α/2<π/4, 故此時α值不存在。
則 tanβ=1 ,∵β為銳角，0<β<π/2,∴β=π/4代入(1)得α=π/6.
故存在銳角α=π/6，β=π/4使(1)(2)同時成立.
點評:此類問題,常從「假設」存在入手,解後還須檢驗.
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