秒殺中考壓軸題:二次函數中因運動產生的相似三角形問題

2020-12-12 中考數學分享

例題

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x^2+bx+c經過點A（﹣1，0）和點C（0，4），交x軸正半軸於點B，連接AC，點E是線段OB上一動點（不與點O，B重合），以OE為邊在x軸上方作正方形OEFG，連接FB，將線段FB繞點F逆時針旋轉90°，得到線段FP，過點P作PH∥y軸，PH交拋物線於點H，設點E（a，0）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若△AOC與△FEB相似，求a的值.

（3）當PH＝2時，求點P的坐標.

【考點】待定係數法求二次函數解析式，全等三角形的判定與性質，相似三角形的性質，銳角三角函數的定義

【分析】（1）將點C,A的坐標分別代入拋物線y＝﹣x^2+bx+c 即可求出b,c的值，從而求出拋物線的解析式；

（2） △AOC與△FEB相似，則∠FBE＝∠ACO或∠CAO， 即：tan∠FEB＝0.25 或4， 根據正方形的性質得出 FE＝OE＝a， EB＝4﹣a， 從而根據正切函數的定義列出方程，求解就可得出a值；

（3）首先根據拋物線與x軸交點的坐標特點求出點B的坐標， 分別延長CF、HP交於點N， 根據同角的補角相等得出 ∠FPN＝∠NFB ，從而利用AAS判斷出 △PNF≌△BEF ，推出 N＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a， 從而根據點的坐標與圖形的性質用含a的式子表示出點P、H的坐標，然後根據兩點間的距離公式得出﹣4a^2+6a+4﹣4＝|2|， 求解就可並檢驗即可得出a的值，從而得出點P的坐標.

練習

如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣0.75x+3的圖像與x軸交於點A，與y軸交於B點，拋物線y＝﹣x^2+bx+c經過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸於點C，交直線AB於點E.

（1）求拋物線的函數表達式 ；

（2）是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，F是第一象限內拋物線上的動點（不與點D重合），點G是線段AB上的動點.連接DF，FG，當四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點G的坐標.

【考點】相似三角形的性質，二次函數的實際應用-動態幾何問題

【解析】【分析】（1）根據直線與縱坐標交點的坐標特點，求出點A,B的坐標，將點A,B的坐標分別代入 拋物線y=-x^2+bx+c 即可列出關於b,c的二元一次方程組，求解得出b,c的值，從而求出拋物線的解析式；

（2） 存在.如圖1，過點B 作BH⊥CD於H ，根據點的坐標與圖形的性質，用含t的式子表示出點C,D,E,H的坐標，根據兩點間的距離公式表示出EC,AC,DH,DE的長，然後分 ①當△BDE∽△ACE 時， ∠BDE=∠ACE=90°， 根據相似三角形對應邊成比例得出BD：DE=AC：CE， 根據比例式建立方程，求解並檢驗得出t的值從而求出點D的坐標； ②當△DBE∽△ACE 時， ∠BDE=∠CAE ， 由BH/DH=tan∠BDE=tan∠CAE=CE/AC，即：BH·AC=CE·DH建立方程，求解並檢驗得出t的值，從而求出點D的坐標，綜上所述即可得出答案；

（3）根據矩形的性質得出DE∥FG，DE=FG，根據點的坐標與圖形的性質，用含m、n的式子表示出點D,E,F,G的坐標，根據兩點間的距離公式表示出DE,FG,的長，從而即可列出方程，求解並檢驗得出 m+n=4 ， 過點 G作GK⊥CD 於K，則 GK//AC ，根據等角的同名三角函數值相等得出GK/EG=cos∠EGK=cos∠BAO=AO/AB ，從而列出方程用含m,n的式子表示出EG的長，進而根據平行四邊形的周長計算方法建立函數關係式，根據函數的性質就可解決問題.

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