歐幾裡得和他的《幾何原本》

如果要從人類科學發展史中選一部開山鼻祖的巔峰巨作，非歐幾裡得的《幾何原本》莫屬。自成書兩千多年以來，一直流傳至今，經久不衰。它是第一本向人們展示了數學推理，歸納演繹的極致著作。它不僅奠定了幾何學的基礎，也是西方數學和哲學的集大成之作。

明朝末期的徐光啟——《幾何原本》傳入中國的首位譯者，在評論該書時說：「此書為益能令學理者祛其浮氣，練其精心；學事者資其定法，發其巧思，故舉世無一人不當學。」它在人類科學的發展史上影響了不計其數的科學巨匠，笛卡爾，費馬，高斯等等，甚至牛頓的《自然哲學的數學原理》都是參照《幾何原本》的格式來寫的。

徐光啟譯《幾何原本》

那麼，如此光輝巨著在兩千三百多年前是如何誕生的呢？這要從一個傳奇人物說起：畢達哥拉斯。

畢達哥拉斯

畢達哥拉斯生活在約公元前580年至約公元前500年間，和孔子，老子，釋迦牟尼生活在同一時代。在人類科學史上，他被認為是希臘傳統數學和哲學的創始人。如同孔子創立了儒教，釋迦牟尼創立了佛教，畢達哥拉斯創立了畢達哥拉斯派。該派教義眾多，其中根本性的一條便是：宇宙萬物都是由整數統治的。這條教義在今天看來，顯得有點離譜；但在兩千五百年前的時代無疑是非常先進的。該派對數學領域貢獻眾多，比如提出了完全數，質數和合數的概念，而最著名的是畢達哥拉斯定理：a^2+ b^2 = c^2——在中國的教科書上稱之為「勾股定理」，出自《周髀算經》。

勾股定理

有了畢達哥拉斯定理，問題就來了：

如果直角三角形兩個直角邊的長度都為1，則斜邊的長度的平方等於2，是一個什麼樣的數滿足其平方等於2？

很顯然不是一個整數，也不是一個成比例的分數，那它會是一個什麼樣的數？現在我們都知道它是一個無理數，而那個時代的人確無法用語言描述。

傳說第一個發現無理數的人叫斯帕索斯，是畢達哥拉斯派的一員，被沉入大海中溺亡，因為他的發現違反了畢達哥拉斯派的教義：宇宙萬物都是由整數統治的。

似乎數學領域的每一次擴充都伴隨著一場紛爭，從無到零的出現， 從整數到負數，從有理數到無理數，從實數到虛數，從複數到漢密爾頓的四元數都無一例外。但不可否認的是，每一次對數域的擴充，都使得人類對宇宙的認識更近了一步。

畢達哥拉斯派對古希臘的數學研究影響巨大，因為教義的狹隘性，使得古希臘人對數學基礎的研究小心翼翼，就連三四百年後的阿基米德在論證或描述定理時都會優先考慮選用幾何方式，而不是數學公式。也正是如此，幾何圖形成了古希臘數學家們的主要研究對象。

自畢達哥拉斯派之後，古希臘經歷了柏拉圖和亞裡斯多德時代，柏拉圖學園和亞里斯多德學園的創建，使得古希臘的雅典成為了地中海文明的中心，這一時期也是古希臘數學發展的黃金時代。

柏拉圖崇尚數學，其學園門口立牌寫明：不懂幾何者，不得入內。亞里斯多德是柏拉圖的學生，在數學和哲學上都是大師；他所創立的形式邏輯，給數學的系統化和公理化提供了理論和方法基礎。

到了公元前4世紀，希臘幾何學已經積累了大量的知識，邏輯學理論漸臻成熟，公理化和系統化更是大勢所趨。這時，形成一個嚴整的幾何結構已是「山雨欲來風滿樓」了。而歐幾裡得和他的《幾何原本》就在這樣的時代背景之下應運而生。

歐幾裡得

雖然歐幾裡得的《幾何原本》流傳至今，但關於他本人的生平事跡我們卻知之甚少，只能從後人的筆記中知曉一二，其中有兩則小故事廣泛流傳：

一則說的是一個學生剛開始學習第一個命題，就問歐幾裡得學了幾何之後將得到些什麼。歐幾裡得對身邊的侍從說：「給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。」

另一則說的是一位國王問歐幾裡得，除了他的《幾何原本》之外，還有沒有其他學習幾何的捷徑。歐幾裡得回答道："There is no royal road to geometry."，這一回答也成了西方傳誦的名言。

《幾何原本》全書十三卷，內容涵蓋了初等平面幾何，立體幾何和部分數論。其通篇以23個定義和五條公設為基礎，進行歸納演繹和推理，是一部結構完整，邏輯嚴謹 ，思維縝密的極致著作。其中五條公設的內容為：

1.過兩點能作且只能作一直線；

2.線段可以無限地延長；

3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓；

4.凡是直角都相等；

5.同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小於180°，則這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交。

五條公設中，前四條都簡單明了，第五條稍顯複雜，它的另一個表述為：通過已知直線外一已知點，能且僅能作一條直線與已知直線平行；或其反面推論為：兩條平行直線永不相交。這一公理後人稱之為第五公設或平行公設。

許多數學家都認為平行公設本身是成立的，但還沒到公理，不證自明的程度。因而第五公設被看作是無懈可擊的歐幾裡得公理體系中的白璧微瑕。所以歷史上眾多數學家挺身而出，要用歐幾裡得的其它幾條公理證明第五公設。然而，無一例外，他們都以失敗告終。

歐幾裡得之所以將其納入公設的範疇，是因為他非常清楚這條定理是無法直接證明的。而這一現象一直持續了兩千多年，直到19世紀中期，人們在探索和證明第五公設的道路上，發現了新大陸，即一個全新的幾何體系的誕生。

現在我們知道，在黎曼幾何中，兩條平行線在曲率為1的平面上會在兩端相交。同樣，在曲率非零的平面上兩點之間最短的距離也並非直線，三角形的三角之和也不等於180°，等等這些看似有悖於我們常識的新發現，都要歸功於歐幾裡得兩千多年前為我們埋下的一個伏筆。

非歐幾何的誕生在數學史上是一個非常有意思的過程。參與人數眾多，比較出名的有「數學王子」高斯，高斯學生時代的好友波爾約，波爾約的兒子亞諾什·波爾約，高斯的學生黎曼，以及俄羅斯數學家羅巴切夫斯基。整個過程中高斯扮演了非常重要的角色，他是第一個發現非歐幾何的人，但卻沒有公之於眾。導致了他後來在處理其他人在非歐幾何領域的發現時做出了一些有失偏駁的事，影響了非歐幾何的進展。這也是高斯數學生涯中少有的敗筆。

最後，值得一提的是，如果沒有非歐幾何，愛因斯坦就無法推演出廣義相對論。

來源：卓易數學思維，以上文章觀點僅代表文章作者，僅供參考，以拋磚引玉！