已知邊和角的式子求a+c的取值範圍?抓住這類題型思路,要知這些

2020-12-10 玉w頭說教育

原題

原題：在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosB/b+cosC/c=2√3sinA/3sinC，√3sinB+cosB=2，則a+c的取值範圍是？

圖一

那這道題該如何解決呢？給出了邊和角的關係式cosB/b+cosC/c=2√3sinA/3sinC的時候，我們普遍的思路就是將邊和角關系統一。

一般情況下都是將這個關係式中的角都化成邊的形式，經過整理得出關於邊的關係。

將cosB/b+cosC/c=2√3sinA/3sinC轉化成只有邊的形式

在三角形中，想要將某個邊和角進行轉化，一般都需要藉助於正弦定理和餘弦定理。

根據餘弦定理b^2=a^2+c^2－2accosB，所以有cosB=(a^2+c^2－b^2)/2ac；c^2=a^2+b^2－2abcosC，所以有cosC=(a^2+b^2－c^2)/2ab。

根據正弦定理a/sinA=c/sinC，所以sinA/sinC=a/c。

所以cosB/b+cosC/c=2√3sinA/3sinC變形為(a^2+c^2－b^2)/2abc+(a^2+b^2－c^2)/2abc=2√3a/3c，進一步整理a/bc=2√3a/3c，整理得到b=√3/2。

所以邊和角的關係式，即cosB/b+cosC/c=2√3sinA/3sinC只是間接地給出了b的長度。

圖二

這是對於給出邊和角的關係的轉化的情況，那對於給出√3sinB+cosB=2隻有角的情況該怎麼辦呢？

對於只給出角之間的關係式的時候，都是將角變成一個函數值的形式。

將角之間的關係式進行轉化

對於只給出關於角的關係式時，我們還要看是一個角的不同函數值還是不同角的函數值的關係式。

對於只有一角的不同函數值關係式的時候，我們只需要根據三角函數的積化和差公式將這個角的不同函數值變成一個函數值的情況即可；

對於不同角的不同函數值的關係式的時候：第一步，根據三角形內角和為180度或者根據題中給出的角的度數，以及三角函數的誘導公式將不同角化成同一個角的不同函數值；第二步，根據三角函數的積化和差公式將其化成一個三角函數值的情況。

根據上述的方法就可以將關於角的關係式轉化成同一個角的同一個三角函數值的形式，從而得出角的大小或者角的範圍。

將√3sinB+cosB=2變形得到2(√3/2·sinB+1/2·cosB)=2(cosπ/6·sinB+sinπ/6·cosB)=2，所以有sin(B+π/6)=1（註：這裡將實數值變成三角函數的形式是轉化同一個三角函數值時解題的基礎，需要掌握的內容），又因為三角形ABC是銳角三角形，所以0<B<π/2，所以得到B=π/3.

圖三

所以根據角的關係式變形後又得到角B的值。

題中給出的已知都已經進行的轉化，也得出了邊b的長度和角B的度數，那如何求解a+c的取值範圍呢？

要想求出a+c的取值範圍，要將a+c轉化成角的形式，根據其相關角的範圍求出a+c的範圍，因為題中給出的三角形都是銳角三角形，給出了角的範圍，但是並沒有給出關於邊的範圍。

a+c轉化成角的形式再求範圍

如何將a+c轉化成角的形式呢？

依然根據正弦定理a/sinA=c/sinC=b/sinB=√3/2/sinπ/3=1，則有a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC。

sinA+sinC是不同角的函數值情況，所以將不同角向同一個角進行轉化。

因為角B=π/3，所以∠A+∠C=π－π/3=2π/3，所以sinA+sinC=sinA+sin(2π/3－A)。

再根據三角函數的積化和差公式，則有

sinA+sinC=sinA+sin2π/3·cosA－cos2π/3·sinA

=sinA+√3/2·cosA+1/2·sinA

=√3/2·cosA+3/2·sinA

=√3(1/2·cosA+√3/2·sinA)

=√3(sinπ/6·cosA+cosπ/6·sinA)

=√3sin(A+π/6)。

所以只需找到√3sin(A+π/6)的取值範圍就可以得到a+c的取值範圍。

因為三角形ABC是銳角三角形，所以0<∠A<π/2，0<∠C<π/2，所以0<2π/3－∠A<π/2，解得出π/6<A<π/2，所以π/3<A+π/6<2π/3，所以√3sin(A+π/6)∈(3/2,√3).

所以a+c的取值範圍為(3/2,√3)。

圖四

總結

對於給出的三角函數的題，如果給出的式子是有邊有角的，一把情況下都是將該式子中的邊和角進行統一化成邊或者角的形式；如果給出的式子是只有角的情況，一般都是通過變形將其化成同一個角同一個三角函數值的情況。

邊和角的轉化一般都是運用正弦定理和餘弦定理；將不同角轉化成同一個角或者將不同三角函數轉化成同一個三角函數的時候，一般都是使用三角函數的誘導公式或者使用積化和差公式。

正弦定理和餘弦定理的證明過程匯總和適用的條件

三角函數的誘導公式快速記憶的方法

三角函數恆等變形的拓展公式

積化和差公式大全

具體剖析正弦定理和餘弦定理的運用

相關焦點

  • 給出邊和角的關係求△ABC內切圓半徑?根據內心特點求半徑?太複雜
    因為題中給出了式子(3c-a)/cosA=b/cosB是有邊有角的式子，根據《已知邊和角的式子求a+c的取值範圍？抓住這類題型思路，要知這些》文章講的內容，碰到有邊有角的式子，要將邊和角關系統一。已知邊和角的式子求a+c的取值範圍？
  • 知「x|f(x)=0」=「x|f(f(x))=0」求m+n的取值範圍?理解已知才是重點
    所以就得出了m的值，即m是一個定值，所以這道題實際上就是要求出n的取值範圍。求出n的取值範圍上述利用給出已知｛x|f(x)=0｝=｛x|f(f(x))=0｝≠構建等式關係得出了m的值，剩下的就是根據給出的已知｛x|f(x)=0｝=｛x|f(f(x))=0｝≠裡的解集元素相同得出n的取值範圍。
  • 根據已知三角函數邊關係,求函數角的最大值,高考數學熱門考點
    在解三角函數的類型題目中，我們一定要銘記一個解三角函數的核心思想，就是邊與邊相對應，角和角相對應，只要將這個步驟銘記在心中的話，三角函數的題目我們就有了下筆的第一步，緊接著無論是邊化角還是角化邊，都需要我們在將第一步寫明確之後進行觀察，之後在進行配比。
  • 向量m=(c-a,sinB),n=(b-a,sinA+sinC)求sinA?四個常用重要知識點
    第三個知識點第三個知識點：對於給出三角形的三邊關係卻沒有和餘弦定理有必然的聯繫，且又求角的正弦值時，就要將給出的三邊關係根據正弦定理轉化成角的形式去解答。同時要根據三角形的內角和或者求出的角的度數以及已知的角度數，儘量的縮小角的個數，以便得出結果。
  • 若2ccosB=2a+b求ab的最小值?直接基本不等式嗎?該題有一般步驟
    這也是符合上述中提到的「在三角形中，如果條件中給出的等式含有邊的平方關係，則可利用餘弦定理化邊為角」規律知識點。而角C是三角形中的內角，所以角C的範圍是0到π的，所以角C=2π/3.根據求得餘弦得出關於ab的式子要想求出ab的最小值，我們還要構建出只有ab或者有a^2+b^2形式的式子，所以我們還要根據餘弦定理c^2=a^2+b^2－2abcosC。
  • 詳細講解三角形中邊的取值範圍的題
    類型題這道題的第二問是求解三角形邊的取值範圍的題，這類題會讓很多同學一時摸不著頭緒，那這樣的題，我們該如何思考呢？題型剖析我們學過正弦定理和餘弦定理，就很容易將邊和角之間相互轉化；我們又學習了角的變化與三角函數值的變化的關係；所以一旦遇到求邊的變化範圍時，我們首先要想到的是將邊的變化形式轉化成角的變化形式來求解。
  • 這樣的題一般規律在這
    若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由。」思路像這樣的題，我們一般都是先假設存在這樣的點B，因為這裡「如果存在求出AB的長度」，所以我們還要設出AB的長度，然後根據PA⊥AB和AB的長度不為0的條件得出AB的取值範圍，再根據給出的二面角的餘弦值導出AB的長度。
  • 高考數學實戰基礎課程,已知函數有兩個零點,求實數m的取值範圍
    高考數學實戰基礎課程，已知函數有兩個零點，求實數m的取值範圍；這種題型是高考數學常考的題型之一，屬於重點題型；本題是基礎題，主要讓大家對零點個數的判斷方法進行初步的理解。明顯函數f(x)有最大值，並且最大值是f(1)，則要使其有兩個零點，最大值f(1)必須大於0，同時區間兩個端點處的函數值都必須小於或等於0，這樣才能使f(x)在每一個單調區間上各有一個零點，詳細過程如下：在解上面的不等式組中，需要比較兩個複雜對數式子的大小，直接觀察不容易比較，可以採用作差法進行比較，過程如下：
  • 詳細講解「給出關於x,y的平面區域求關於x,y式子的取值範圍」
    題型圖一中的題就是這類題型，該題間接地給出了x，y的平面區域，要求出關於x，y的式子的取值範圍。題型解析關於x，y的平面區域我們很容易畫出來，但是要求出關於x，y的式子取值範圍就很難找準，這個時候我麼就要將關於x，y的式子進行變形，變成具有幾何意義的式子，同時要採用數形結合的方法來增強我們的對該題的理解。
  • 已知函數f(x)在(0,1)內有兩個零點求a的取值範圍?這類題思路在這
    原題原題：已知函數f(x)=2e^(2x)－2ax+a－2e－1，其中a∈R，e為自然對數的底數。若函數f(x)在(0,1)內有兩個零點，則a的取值範圍是多少？圖一這樣的題實際就是考察大家對函數的單調性和函數的零點的問題，所以這道題的普遍的思路就是對函數f(x)進行求導，根據函數的單調性來判斷該函數與x軸的交點個數是否滿足給出的已知條件—
  • 當三角形的面積取最大值時求邊c,判斷∠C?其實是運用均值不等式
    原題原題：已知在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若abcosC+3c^2/2=4，則當△ABC的面積取得最大值時，c^2=?錯誤思路這道題給出了abcosC+3c^2/2=4，很自然我們會想到餘弦定理，通過餘弦定理進一步的得到a，b，c的關係。但是對於給出的當△ABC的面積取得最大值時這一條件，就會使很多同學走錯解題方向。
  • 正弦定理,角和邊之間的轉化,2大類題型,高考數學重點考察內容
    正弦定理，角和邊之間的轉化，2大類題型，高考數學重點考察內容，高中數學_高考數學。正弦定理第一大作用是求三角形的邊和角，咱們在上節課已經講過，第二大作用是可以把邊之間的關係轉化為角的正弦之間的關係，反過來也可以把角的正弦之間的關係轉化為邊之間的關係，例如a＝b＋2c，可以轉化為sinA＝sinB＋2sinC，反過來亦可轉化，注意，只有當等式中的每一項都含有指數相同的邊或角的正弦因式時，才能夠這樣轉化，例如，a＝3bc，可以和sinA＝3sinBsinC互相轉化，但a＝3bc＋a，
  • 知識分享:如何讀懂學生的「已知」和「想知」?
    二、讀懂學生的「已知」　　「已知」是指學生已經具備的與新知學習相關的知識基礎、能力水平和生活經驗等，它決定著學習起點的定位。讀懂學生的「已知」就是要準確把握並有效利用學生的學習起點，如教學人教版第七冊「直線、射線和角」：　　1.一般設計。
  • 橢圓離心率的取值範圍是高考數學重要考點、學會多拿20分,你造嗎
    橢圓離心率的取值範圍是高考數學重要考查點，而且橢圓相關試題，一般是選擇題和解答題的壓軸題，有些學生耗費大量時間去推導、證明，甚至部分學生直接放棄。對於此類客觀題，只需掌握一些必要的證明結論，即可快速得到答案，甚至一眼看出答案。
  • 知雙曲線,求1/FA-4/FB的取值範圍?雙曲線還有個知識點——須知
    上述就是一般的資料上都能搜索的雙曲線的知識點，但是要想解決這道題，我們還要知道雙曲線的這個知識點，即雙曲線是中心對稱圖形。得出FA和FB的關係得出FA和FB的關係是解決該題的關鍵。所以只要求出函數方程為f(x)=1/x－4/(x+4)，(x≥1)的取值範圍就求出1/|FA|－4/|FB|的取值範圍，即將該題中的取值範圍轉化成求函數的問題上來。
  • 三角形知道兩邊邊長可以求出第3邊的邊長嗎?(文章有練習題) - 數學...
    答案:在一個三角形中，如果只知道兩邊邊長，並且沒有別的隱含條件，我們是無法求出第三邊邊長的，我們只能求得第三邊的範圍！=AB+AC∴AB+AC>BC三邊關係題型①利用三邊關係可以判斷三條線段能否組成三角形②已知兩邊長求第三邊的長或取值範圍③證明線段不等關係
  • 七年級:怎麼求BC,和中線AD的取值範圍?三角形三邊關係定理
    如圖，已知，AD是△ABC的邊BC上的中線，AB=12,AC=8.⑴.邊BC的取值範圍是多少？⑵.求中線AD的取值範圍.這道題應該大多數同學都能做出來，特別是第⑴小題，真的是簡單到要爆炸。這道題，考查的就是三角形的三邊關係定理，就是兩句話。
  • 三角形三邊關係要學好,這些方法和題型一定要掌握牢
    2、求第三邊的取值範圍。4、化簡含絕對值的式子。例:已知a，b，c為三角形的三邊長，化簡丨b+c－a丨+丨b－c－a丨－丨a－b+c丨解:∵a，b，c為三角形的三邊長，∴b+c－a﹥0，b－c－a<0，a－b+c﹥0∴丨b+c－a
  • 2018高考數學經典大題必考題型
    利用上假設後，如何把當前的式子轉化到目標式子，一般進行適當的放縮，這一點是有難度的。簡潔的方法是，用當前的式子減去目標式子，看符號，得到目標式子，下結論時一定寫上綜上：由①②得證;3.證明不等式時，有時構造函數，利用函數單調性很簡單(所以要有構造函數的意識)。
  • 初二數學求分式的值,常考題型,總結解題方法,輕鬆解答
    分式部分有一種題型在考試中經常出現，求分式的值，已知條件中給定的條件，求值分式的值。這類題目最基礎的就是直接代入求值，先將分式進行化簡，之後代入求值，先化簡後求值是解有條件的分式的化簡與求值的基本策略。