詳細講解三角形中邊的取值範圍的題

類型題

這道題的第二問是求解三角形邊的取值範圍的題，這類題會讓很多同學一時摸不著頭緒，那這樣的題，我們該如何思考呢？

題型剖析

我們學過正弦定理和餘弦定理，就很容易將邊和角之間相互轉化；

我們又學習了角的變化與三角函數值的變化的關係；

所以一旦遇到求邊的變化範圍時，我們首先要想到的是將邊的變化形式轉化成角的變化形式來求解。

題型解答

（Ⅰ）第一問根據正弦定理和餘弦定理計算即可。

具體做法如下：

因為∠BAC=2π/3，∠PAC=π/2，所以∠BAP=π/6，

在△PAB中，由余弦定理知PB^2=AP^2+AB^2-2AP·ABcosπ/6=3，得PB=√3=AB，則∠BPA=2π/3，∠APC=π/3.

在Rt△APC中，PC=AP/cosπ/3=2√3.

（Ⅱ）第二問將邊的變化範圍轉化成角的變化範圍，即用含有角的式子來表示邊；然後根據三角恆等變換轉化成一個三角函數值的形式；再根據角的範圍求出三角函數值的範圍。

①第一步將邊的變化範圍轉化成求角的變化範圍，即用有關角式子來表示要求的邊。

設∠APC=θ，則∠ABP=θ-π/6，

在Rt△APC中，PC=AP/cosθ，

在△PAB中，由正弦定理知AP/sin(θ-π/6)=PB/sinπ/6，

所以PB=AP/2sin(θ-π/6)，

所以1/PB+1/PC=2sin(θ-π/6)/AP+cosθ/AP，

所以只要求出2sin(θ-π/6)/AP+cosθ/AP變化範圍即可。

②第二步根據三角恆等變化轉化成一個三角函數值。

2sin(θ-π/6)/AP+cosθ/AP

=(2sinθcosπ/6-2cosθsinπ/6+cosθ)/AP

=(√3sinθ-cosθ+cosθ)/AP

=√3sinθ/AP

又因為AP=√3，所以2sin(θ-π/6)/AP+cosθ/AP=sinθ，

所以1/PB+1/PC=sinθ.

③第三步根據角的範圍求出三角函數值的範圍。

由於∠ABP>0弧度，所以θ>π/6，

又因為一個三角形中只有一個直角，所以θ<π/2，

所以有π/6<θ<π/2，所以1/2<sinθ<1，

所以1/PB+1/PC的取值範圍是（1/2,1）.

上述分享希望能給對大家有所幫助！