立體幾何中的「內切」與「外接」球問題

2021-02-07 數學名師研修共同體

作者簡介：數學名師研修共同體成員  西安市教學能手，西安市骨幹教師，主要對高考試題，競賽試題及命題方向上有獨特的研究，教學方法得當，教學成績突出，獲希望杯組委會命題二等獎，世界數學錦標賽命題二等獎，在《中學生數學》《數學通訊》《中學數學》《中學數學研究》《數理天地》《中學數學月刊》《河北理科教學研究》《中小學數學》等雜誌上發表近百篇文章，參與《金考卷》《試題調研》《高中數學題型歸納全解析》等圖書的編寫。

縱觀近幾年高考對於組合體的考查，重點放在與球相關的外接與內切問題上.要求學生有較強的空間想像能力和準確的計算能力，才能順利解答.從實際教學來看，這部分知識是學生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學生沒有形成解題的模式和套路，以至於遇到類似的題目便產生畏懼心理.本文就高中階段出現這類問題加以類型的總結和方法的探討.

1 球與柱體

規則的柱體，如正方體、長方體、正稜柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態進行結合，通過球的半徑和稜柱的稜產生聯繫，然後考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.


相關焦點

  • 立體幾何中錐體的內切球問題專項練習
    相比於幾何體的外接球，內切球問題不是高考中的常考內容，和外接球相比，內切球問題的出題類型較少，技巧和難度也相對較低，在柱體中內切球的相關題目較為簡單，因此本次內容只考慮在錐體中內切球問題。處理錐體中內切球問題時，我們常用轉化法，利用錐體的體積和面積的比值來求半徑，即R=3V/S，相類比，在三角形中內切圓的半徑r=2s/a+b+c，這兩個公式是處理內切球問題中最常用的兩個，內切球問題其實就是錐體體積和表面積問題，處理時依舊可轉化為平面幾何中長度的求法，由於此類問題較少，今選取8道相關的題目予以分享。
  • 立體幾何題型及解題方法:速解空間幾何體外接球內切球專題
    很多同學在學到立體幾何這一塊時，都會特別頭疼，感覺自己太缺乏空間想像力了，特別是關於球專題部分更是頭疼。其實，之所以對球專題頭疼，是大家平時學習的時候，東看一個方法，西做一道題，對知識的理解和認識並不系統，也連接不到一塊，或者說是沒有理解到它的實質。
  • 必備技能,高中數學「外接球與內切球」問題的求解一般方法與技巧
    基本問題說明立體幾何中，有些題中已知幾何體的外接球和/或內切球（包括變式：球內幾個點圍成的幾何體），而且涉及的球可能不止一個，這些球之間或者相互外切、或者相互內切、或者組成某種結構與形狀（如對稱），然後求解或計算其有關的幾何量。這就是立體幾何中常見的基本問題之一，幾何體的"外接球與內切球"的計算問題。
  • 高中數學:「八大模型」,輕鬆搞定空間幾何體外接球與內切球問題
    在高中數學中立體幾何一直都是作為重點以及難點對於大家進行考查。而立體幾何中的重難點是哪些呢？其實在立體幾何中重點考查的就是空間幾何體的外接球與內切球問題。研究多面體的外接球內切球問題，既需要球的知識、又需要多面體的知識，並且還要注意一些有關幾何元素與球的半徑之間的關係。
  • 高中數學(空間幾何體)的外接球與內切球八大解題模型
    高中立體幾何的考查形式，一方面考查學生空間想像能力，另一方面客觀題可以通過正方體法將三視圖還原成幾何體，從而研究幾何體的線面位置關係，解答題核心解題思路是建系。在學習空間立體幾何中，很多同學都覺得它很難，確實比較難。尤其空間幾何體的外接球與內切球相關題型，就是一大難點，也是每年高考數學必考題型。今天學長就大家整理了高中數學（空間幾何體）的外接球與內切球八大解題模型，希望對同學們有所幫助。
  • 高中數學:八個無敵模型,搞定空間幾何的外接球和內切球問題
    很多同學認為幾何很難，但是只要打好基礎，也會變得很容易！不可否認的是空間想像力很豐富的同學這方面成績好點，但是無論是先天還是後天發育的，有的同學有這種技能的話，在考試中希望你能充分發揮出來！沒有的同學也不要灰心，好好分析學長分享的經典例題，你也能不落於人後！
  • 高中數學：一文搞定空間幾何體的外接球與內切球問題
    很多同學認為幾何很難，但是只要打好基礎，也會變得很容易！不可否認的是空間想像力很豐富的同學這方面成績好點，但是無論是先天還是後天發育的，有的同學有這種技能的話，在考試中希望你能充分發揮出來！沒有的同學也不要灰心，好好分析學長分享的經典例題，你也能不落於人後！空間幾何內外球問題是考生必考的知識點，下面為大家總結了一些常見結論，可以快速秒殺各類球的球心。
  • 從內切圓類比到內切球
    數學家波利亞曾說過，「類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴於平面幾何中的類比問題」.類比，是根據兩個對象或兩類事物間存在著的一些相同或相似的屬性、特徵、關係等，推斷它們之間也可能具有的其它一些相同或相似的一種推理形式
  • 2018數學高考題中與球有關的接、切問題探討(乾貨,必備)
    與球相關的接、切問題，是近年高考命題的熱點，考查考生的空間想像能力和邏輯思維能力，也是考生的難點和易失分點。下面筆者就近幾年高考中對球與幾何體的接、切問題進行探究，從中掌握高考命題的規律和高考命題的思路，使我們這部分內容不失分。
  • 高中數學——8個有趣模型,搞定空間幾何體的外接球與內切球
    很多同學認為幾何很難，但是只要打好基礎，也會變得很容易！不可否認的是空間想像力很豐富的同學這方面成績好點，但是無論是先天還是後天發育的，有的同學有這種技能的話，在考試中希望你能充分發揮出來！外接球若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是這個多面體的外接球。也就是說如果一個定點到一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那麼這個定點就是該簡單多面體外接球的球心。
  • 高中數學專題:8個模型搞定空間幾何體的外接球與內切球,0丟分!
    外接球和內切球問題是高中數學空間幾何是一個高頻考點，每年高考都會考，研究多面體的外接球內切球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，並且還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑之間的關係，而球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用。
  • 利用公式解決正四面體內切球和外接球的問題
    通過這一簡單的結論，我們可以秒殺一些在選擇和填空題中有關正四面體內切球和外接球的題目，只需要背下這個公式，即可做到秒殺該類型的題目我們先證明一下這個公式：內切球與外接球半徑的關係：如圖所示在正四面體ABCD中，O為外接球圓心
  • 2020高考數學專題：外接球內切球的解題方法
    高考對本講內容主要考查空間幾何體的展開圖、表面積和體積的計算等．試題的題型主要是選擇題和填空題，對表面積與體積也可能在解答題中設置一問，在難度上有所控制，基本上都是中等難度或者較易的試題．空間幾何體與球的切、接問題也是高考的重點，難度較大．
  • 立體幾何中的動點軌跡問題
    這類問題在高考中並不常見，或者說在高考中出現得並不明顯，但在用空間向量求二面角時偶爾會遇到一種題目，即需要用到的點並不是一個確定的點，而是在一個面上的動點，且這個點還滿足一些特定的值或平面幾何關係，此時需要根據條件確定出動點所在的軌跡，在每年高考前的模擬題中也會遇到這種題目，若在選填中，則一般位於壓軸或次壓軸位置，求幾何體中動點的軌跡或者與軌跡求值相關的問題
  • 高中數學解析:八個有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內切球
    幾何知識是考試的一個必考點，很多同學在解決幾何問題時總找不準方向，沒有解題思路，看到幾何題就懵了。其實，只要學會建立模型就變得簡單。在解題的時候，直接套模型就可以了！「老師你倒是說得輕鬆，但問題是我不會建立模型啊！」很多同學這樣說。
  • 立體幾何的基本技巧—「截」「展」「拆」「拼」
    在高考中，立體幾何問題常常結合最值問題一塊考察，容易出現在立體幾何的內接或內切幾何體，常用的立體幾何的基本技巧—「截」「展」「拆」「拼」。圓錐，圓柱，圓臺本身問題多考慮軸截面，注意區分軸截面、豎截面和橫截面，以及截面。對於圓錐和球和多面體的截面，注意一般過球心，過旋轉軸，過「切」「節」點。2.「展」指的是側面和某些面的展開圖，在有關沿表面的最短路徑問題中，就是求側面或某些面的展開圖上兩點間的距離，注意展開方式不唯一。
  • 2019年吉林省公務員考試行測答題技巧:立體幾何問題
    近幾年，在公務員考試中經常涉及幾何問題。在數學運算題型中，幾何問題包含兩種題型：平面幾何問題和立體幾何問題。為了便於分析和計算，多數立體幾何問題需要轉化到平面上進行求解，中公教育專家認為，關注和學習相關的平面幾何知識是解決立體幾何問題的基礎。
  • 三稜錐的內切球，外接球半徑
    （此文是轉發，感謝原創）1，內切球半徑：2，外接球半徑：公式記不住沒關係的，記住：內切球半徑通過體積來求，此時的半徑即「分割後"的四個小稜錐的高；外接球的半逕到三稜錐的四個頂點的長度都是球半徑，底面外接圓的圓心與球心連線必垂直於該底面。
  • 這8類立體幾何經典二級結論須熟練掌握
    二級結論是高中數學中提升解題速度的法寶，經常出現在解析幾何部分。同樣作為幾何的一份子，立體幾何也有很多的二級結論。本文總結了有關立體幾何的幾個二級結論，適合應用在選擇填空題的位置，有助於立體幾何的效率提升！
  • 立體幾何中與長度有關的動態最值問題選題解析
    立體幾何中的最值問題常以哪些思路進行分析？既然有最值，則就有未知的數值，這種數值若從函數角度分析可能是某條未知的線段，某個未知的角度，若從幾何的角度分析，可能是某個點的特定位置，或類似於螞蟻爬盒子之類的兩點之間直線最短，又或者是兩條異面直線最短距離的公垂線等等，動態最值問題是立體幾何中綜合性和難度較強的一類問題，與此類似的是動態定值問題，這個以後再說，常見的題型如下：1.距離或線段長的最值