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雙曲線的焦點三角形，
其實本沒打算去寫的。
畢竟，
很多時候，
它和橢圓的焦點三角形那麼相似。
可是想想，
畢竟客觀題還是會考，
覺得還是要寫個簡單點、
但更直觀點的東西。
所以，
今天的主要目標就是記憶了。
無題……
定義當然是和橢圓一樣的了。
焦點三角形ΔPF1F2：
雙曲線的上一點（非實軸端點）與兩個焦點構成的三角形稱為焦點三角形。
其中∠F1PF2為頂角θ，F1F2為底邊。
因為焦點三角形的頂點在雙曲線上，
因此一定會滿足雙曲線定義的。
則有：||PF1|-|PF2||=2a.
當然，
一定還有|PF1|-|PF2|<|F1F2|的。
和橢圓的封閉性不同，
雙曲線是個開放型曲線。
因此，
焦點三角形的頂角θ，
雖也是一個變量，
但變化規律就有點簡單了。
從圖中不難看出，
點P從頂點處出發時，
頂角θ應該是一直越來越小的。
因此：0°<θ<180°
看，
並沒有橢圓中那麼煩瑣。
因為記得橢圓裡，
要尋找角的最大值，
似乎還要用到餘弦定理的吧。
記得橢圓中，
結合定義及餘弦定理，
推導出了橢圓焦點三角形的面積公式。
那個我一真以為，
真的很美的的式子。
那麼在雙曲線裡，
會不會也有這麼美好的結論呢？
看看這個結論，
就覺得很有點意思了。
原來，
兩個曲線的焦點三角形面積，
真的是有很強的可比性的。
橢圓、雙曲線，定義中一加、一減，
卻原來，
面積竟會是一乘一除的。
當然，
為了更好地利用這個面積，
和橢圓一樣，
使用時也會經常的，
將之與點P的縱坐標結合在一起。
從而建立了，
面積與坐標之間的深厚友誼。
當然，
你也別忘了，
利用內切圓半徑與面積的關係，
也可以實現面積與內切圓半徑之間的，
相互轉換了。
橢圓中，
焦點三角形與離心率之間是有關係的。
這種關係，
可以從幾何與代數兩個角度去分別去刻畫。
在雙曲線中，
如果你願意分析，
其實也有類似的結論.
①離心率的代數解釋:
②離心率的幾何解釋:
③離心率與底角：
三角形有三個旁心和一個內心，
而旁心，
名如其心，
真的是在三條邊的旁邊，
一邊一個心。
其實，
旁心的軌跡確實還是挺麻煩的。
細心如你，
能從圖中看出兩腰所對旁心的軌跡特徵麼?
如果仔細觀察,
可以得到下面這些挺有意思的結論:
①左旁心軌跡為左側兩支雙曲線;
右旁心軌跡為右側兩支雙曲線。
②頂點位於左支：
左旁心張口小,右旁心張口大；
頂點位於右支：
右旁心張口小,左旁心張口大.
③底邊所對旁心:
頂點在左支時，旁心軌跡為x=a，
頂點在右支時，旁心軌跡為x=-a。
④內心：
頂點在右側時，內心軌跡為x=a；
頂點在左側時，內心軌跡為x=-a。
過焦點做焦點三角形頂角平分線的垂線，
垂足又會怎麼樣呢？
嗬嗬，
了不得，
垂足的軌跡竟是個圓！
可是冷靜點，
從數量關係著手分析，
證明其實簡單的。
畢竟，
只是兩條直線的交點。
那麼，
你能試下這個結論的證明麼？
橢圓中，
焦點三角形的重心，
軌跡依然是橢圓。
其實主要原因，
是因為重心公式的線性特徵。
那麼雙曲線裡，
重心的軌跡也是類似的.
因為y軸是F1F2的中垂線，
所以，
理所當然的，
外心就在y軸上了。
只是因為有漸近線的限制，
外心的軌跡，
其實也只能是一條線段而已。
而且端點是空心的。
和橢圓類似，
從焦點發出的光線，
經雙曲面反射後，
反射光線的反向延長線，
一定會經過另一個焦點的。
顯然的，
曲線在頂點P處的角平分線，
便是在點P處的切線了。
嗯，
求角平分線方程時
如果利用切線與角平分線的這種關係，
是不是很爽歪歪呢！
（end）
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