初二數學難題,直角邊上動點如何構成全等三角形?分兩種情況討論

2020-12-14 陳老師初中數理化

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判定全等三角形的條件是初二數學的重要知識點，本文就例題詳細解析如何運用全等三角形的判定定理求解直角邊上的動點構成全等的條件，希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。

例題

如圖，點O在直線m上，在直線m的同側有A、B兩點，∠AOB=90°，OA=10，OB=8，點P從A點出發沿A→O→B路徑向終點B運動，點Q從B點出發沿B→O→A路徑向終點A運動，點P和點Q分別以每秒2cm和1cm的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PC⊥m於C，QD⊥m於D，設運動時間為t秒，當t為何值時，△OPC與△OQD全等。

解題過程：

根據題目中條件：OA=10，OB=8，則OA+OB=18；

根據題目中的條件和結論：點P、Q的運動速度分別為每秒2cm和1cm，OA+OB=18，則點P從A點運動到B點的時間=18/2=9秒，點Q從B點運動到A點的時間=18/1=18秒；

（1）當P在OA上，Q在OB上

根據題目中的條件：∠AOB=90°，∠POC+∠AOB+∠QOD=180°，則∠POC+∠QOD=90°；

根據題目中的條件：PC⊥m，QD⊥m，則∠PCO=∠QDO=90°；

根據結論：∠PCO=90°，∠PCO+∠POC+∠CPO=180°，則∠POC+∠CPO=90°；

根據結論：∠POC+∠QOD=90°，∠POC+∠CPO=90°，則∠QOD=∠CPO；

根據全等三角形的判定和結論：兩組對應角及其中一組對應角的對邊分別相等的兩個三角形全等，∠PCO=∠QDO=90°，∠QOD=∠CPO，則當PO=OQ時，△OPC≌△OQD；

根據題目中的條件：點P的運動速度為每秒2cm，則運動t秒，點P運動的距離PA=2t；

根據題目中的條件：點Q的運動速度為每秒1cm，則運動t秒，點Q運動的距離QB=t；

根據題目中的條件和結論：OA=10，OB=8，PA=2t，QB=t，則PO=OA-PA=10-2t，OQ=OB-QB=8-t；

根據結論：PO=10-2t，OQ=8-t，PO=OQ，則10-2t=8-t，可求得t=2<9；

根據結論：t=2，PO=10-2t，OQ=8-t，則PO=OQ=6，即P在OA上，Q在OB上，符合條件。

（1）當P在OB上，Q在OA上

根據題目中的條件：點P的運動速度為每秒2cm，則運動t秒，點P運動的距離OA+PO=2t，即PO=2t-OA；

根據題目中的條件：點Q的運動速度為每秒1cm，則運動t秒，點Q運動的距離OB+OQ=t，即OQ=t-OB；

根據題目中的條件和結論：OA=10，OB=8，PO=2t-OA，OQ=t-OB，則PO=2t-10，OQ=t-8；

根據結論：PO=2t-10，OQ=t-8，PO=OQ，則2t-10=8-t，可求得t=6<9；

根據結論：t=6，PO=2t-10，OQ=t-8，則PO=OQ=2，即P在OB上，Q在OA上，符合條件。

所以，當t=2或6時，△OPC與△OQD全等。

結語

解決本題的關鍵是必須根據動點的運動軌跡和所處的位置，把可能出現全等三角形的情況分兩種進行討論，必須注意採用哪一種判定定理來證明這兩個三角形全等，從而得到線段之間的等量關係，再根據動點運動距離的代數式，列出等式進行求解。

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