We now have several ways of testing a series for convergence or divergence; the problem is to decide which test to use on which series. In this respect, testing series is similar to integrating functions. Again there are no hard and fast rules about which test to apply to a given series, but you may find the following advice of some use.
目前我們學習了很多種方法來判斷一個級數是收斂還是發散的；
問題是在碰到一個級數時，如何快速準確的找到對應的方法呢？
實際上，與求積分的情況類似，判斷級數發散收斂並沒有特別難或特別快的方法，但是我們可以根據如下的方法儘量少走彎路。
It is not wise to apply a list of the tests in a specific order until one finally works. That would be a waste of time and effort. Instead, as with integration, the main strategy is to classify the series according to its form.
把學過的方法一一試一遍直到求出最終答案的這種思路貌似不太精明。這樣會耽誤很多時間，浪費力氣。 相反的，我們要像求積分那樣，根據級數的形式不同，可以採用不同的策略。
1. If the series is of the form ： , it is a p-series,
如果一個級數滿足形式，那麼他就是一個「p-級數」。
Example 1：
The series
is convergent because it is a p-series with p =3 ＞1.
The series
is divegent because it is a p-series with p =1/3 ＜1.
2. If the series has the form ：
Some preliminary algebraic manipulation may be required to bring the series into this form，Take an exapmle as follows.
一些隱蔽的形式需要進行的代數轉換從而變成這種形式，例如下面的例題。
Example 2 ：
顯然，這不是一個p-series ，它更像幾何級數（等比級數）。
這就需要我們將其進行改寫整理成幾何級數的樣子，看看是否可以成功：
我們改寫成功了，這裡a=4，r=4/3，因為r＞1，根據上述描述得到，級數是發散的。
註：不需要改寫的題目，在這裡我們就不贅述了。
3. Comparision Test：
The comparision TestThe comparision Test
If the series has a form that is similar to a p-series or a geometric series, then one of the comparison tests should be considered. The comparision Test as follows：
如果一個數列的形式看起來既像p-級數又像幾何級數，那麼我們要考慮使用對比測試法，測試法內容如下：
In particular,
if an is a rational function or an algebraic function of n (involving roots of polynomials), then the series should be compared with a p-series.
尤其的，如果an 是一個有理函數（分式函數）或者一個含有n次根的多項式函數，這時，級數應該與p-級數（bn）進行對比。
Notice that most of the series in Exercises 11.4 have this form. (The value of p should be chosen as in Section 11.4 by keeping only the highest powers of n in the numerator and denominator.)
需要注意的是，大多數情況，都是與p-級數（bn）進行對比的，進行比對的p-級數（bn），就是選取分子和分母中最高次保留下來就可以。
比如：
Example 2 ：
1） 這個級數顯然不是p-級數，也不是幾何級數，但是它是一個Rational Function,根據上面結論，我們需要使用對比法，找到bn。
因為分子為5 ，最高次 為 0，保留 5；分母為2n²+4n+3，最高次為2次，所以保留2n²，所以我們可以令 bn 為
2）因為原式（an）分母為2n²+4n+3＞對比級數（bn） 分母2n² （注意這裡n為正數），在分子相同的情況下，能得出：
3）我們已經大概湊出來Comparision Test中條件部分的內容，緊接著我們需要知道，bn是發散或收斂的。
這顯然是一個p-級數，p=2＞1，所以bn是收斂的。
（詳見p級數部分內容）
4）根據Comparision Test 第i條，bn是收斂的，an也是收斂的。
Example 3 ：
1） 這個級數顯然不是p-級數，也不是幾何級數，但是它是一個Rational Function,根據上面結論，我們需要使用對比法，找到bn。
但是這個題目，我們更應該想到幾何級數去進行對比，因為n是在指數位置的，大家可以回頭看一下 「2」提到的幾何級數的形式。
所以我們可以令 bn 為
2）上圖是個幾何級數，r=6/5 ，所以是發散的。
3）（bn）與（an）的比較如下，分子相同，分母相差1.
4）根據Comparision Test 第ii條，bn是發散的，an也是發散的。
Note ：
The comparison tests apply only to series with positive terms, but if o an has some negative terms, then we can apply the Comparison Test to 「Σ | an |」 and test for absolute convergence.
注意，對比測試法只適用於級數各項均為正數的情況，但是如果級數中含有負項，那麼我們需要使用對比判別法與絕對值收斂判別法一起來判斷收斂性。這部分我們後續會介紹。
今天我們就介紹到這裡，請持續關注我們公眾號，我們會繼續更新其他關於「判斷級數發散及收斂的一些技巧」的。
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