點擊標題下面一行中「北京 邵勇」後面的藍字「數學教學研究」, 關注本微信公眾號(sx100sy)。本公眾號內容均由邵勇本人獨創。每周推送兩到三篇內容上有分量的數學文章，但在行文上力爭做到深入淺出。幾分鐘便可讀完，輕鬆學數學。
魯班鎖如下圖所示。
從上圖可以看出，魯班鎖由六根方柱交插拼裝而成。因為有交插，所以這些方柱中一定有一些不是完整的，而是被挖掉了一些物質。被挖掉的部分因為被「藏」在了裡面，所以外表看不出來。也正是因為有物質被挖掉，才有可能產生出上圖這種巧妙的拼裝。
那麼，我問您一個可能讓您覺得奇怪的問題：上圖中的魯班鎖，它的中間有沒有空隙？（若兩個表面緊緊靠在一起，我們認為它們之間是沒有空隙的。所以，這裡指的空隙是指空間，哪怕是只能藏下一個小黃豆大小的空間。）
我相信，對魯班鎖非常熟悉並有很深研究的朋友們一定會說中間沒有空隙的。魯班鎖設計得非常好，非常巧妙，所以才會這樣有名。我自己有一個魯班鎖，它是2017年10月北京馬丁·加德納聚會上主辦方送我的禮物，但我不敢隨便就把它拆開，因為我還沒有學會怎麼組裝，怕拆開後裝不回去。但我可以先用數學的方法證明確實裡面沒有任何空隙，是嚴絲合縫的。
怎麼證明呢？我要先求出上面這個未拆魯班鎖所佔據的空間的體積。然後，看一看它比六根未挖過的方柱的體積之和少多少？（體積減少是肯定的，否則裝不上的。） 之後，我會從網上找到組裝魯班鎖的視頻，學會並記住組裝步驟。再之後，我就可以把我的那個魯班鎖拆開了，拆開後就可以計算出所有方柱中挖掉部分的體積之和。最後，如果前面計算出來的體積減小量，與全部被挖掉的體積相等，我們就可以說拼裝好的魯班鎖的內部是沒有空隙的。
好的，我們下面先來計算未拆魯班鎖的體積。
有很多種辦法，我今天要介紹兩種。一種是看著魯班鎖實物或圖形，想像把它拆成容易計算其體積的各種組成部分，然後相加。另一種是數學味道極濃的容斥原理方法。
第一種計算方法：
如下圖所示。有表面露在外面的部分可以分成幾種不同的類型。圖中綠色標出的為一個單位正方體，這種正方體一共有12個（上2，下2，左2，右2，前2，後2），它們都處於魯班鎖的最外端。它們的體積之和是12。接著，圖中以黃色標出的是一個小長方體，它的體積為正方體的四分之一，處於角落處。這樣的小長方體一共有12個（每根上面有兩個），加起來體積一共是12×(1/4)=3。
然後計算沒有表面露在外面那部分的體積。分成兩種類型。一種是有「邊」露在外面。我們先找出一個這種類型的代表。如下圖所示，它不容易在原圖中畫出來，所以我把它畫到了圖的外面右側。圖中的兩條青色線段（有一條是MN）是露出來的兩條邊，從而我們便可以定位出這個被壓在裡面的「半方塊」。它是一個正方體的一半大小，位於C、D兩塊的上面，同時被壓在A和B的下面，但它卻是E的一部分。這樣的半方塊有6個（兩兩相對），所以一共體積為6×(1/2)=3。最後，應該很容易想到，最中間有一個只有四個頂點將將露出來的一個單位正方體，當然，它的體積為1。
於是，上圖的魯班鎖的總體積為：
12 + 3 + 3 + 1 = 19
它比原六根完整方柱的總體積24少了5個單位體積。請記住這個5。
第二種計算方法（容斥原理）：
如下圖所示。A和B並排放到一起當成一個整體，C和D也這樣成為一個整體，E和F也成為一個整體。三個整體的體積都是8。對應於右圖（文氏圖）中的三個圓。每兩個整體的公共部分是兩個單位正方體，這相當於右邊文氏圖中的一個棗胡兒形（紅色1加上黑色1）。魯班鎖正中間的那個完全隱藏起來的單位正方體，就相當於右邊文氏圖中中間那個曲邊三角形1。左邊魯班鎖的體積就是右邊文氏圖三個圓的併集。
為方便起見，我們設A+B=X，C+D=Y，E+F=Z，並且簡單地用字母本身表示它的大小。於是，根據容斥原理，有
（A+B）∪（C+D）∪（E+F）
= X∪Y∪Z
= X＋Y＋Z－X∩Y－Y∩Z－Z∩X＋X∩Y∩Z
= 8＋8＋8－2－2－2＋1
= 19
以上用了兩種方法求出了魯班鎖所佔據空間的體積，都為19。這都說明魯班鎖佔用的空間比原六根完整方柱的體積之和小5個單位體積。下面看一下拆開後六個方柱的樣子（我已經學會組裝它了，所以拆開了就不怕裝不回去了）。我們來計算一下一共被挖掉了多大的體積。
實際的魯班鎖6根方柱其實是這樣的，它們的維度都是1×1×4。
其中第一根是完整的，它是組裝過程中最後組裝上的。我們計算一下六根方柱被挖掉部分的總體積。上圖中從上到下被挖體積分別為：
0
1
1.25
1
0.875
0.875
加在一起等於：
0 + 1 + 1.25 + 1 + 0.875 + 0.875 = 5
即一共被挖掉了5個單位體積。被挖前，6根完整的方柱的體積為24，挖掉它們的5個單位體積後，還剩下的體積為19個單位正方體。也就是說，魯班鎖實際用材的體積為19。而前面計算出來的未拆魯班鎖佔據空間的體積也為19。這就說明了，魯班鎖中間是沒有任何空隙的。
聰明的中國人在很早以前就設計出來了這麼一個完美的物件，真是太偉大了！點讚！
我今天講的內容完全是從數學角度出發的。希望您喜歡！想讓您多了解一些物件背後的數學知識和原理。
再加上今天的數學日曆，本篇內容信息量蠻大的。