小學奧數知識點——容斥原理

容斥問題涉及到一個重要原理——包含與排除原理，也叫容斥原理。即當兩個計數部分有重複包含時，為了不重複計數，應從它們的和中排除重複部分。

容斥原理：對n個事物，如果採用不同的分類標準，按性質a分類與性質b分類（如圖），那麼具有性質a或性質b的事物的個數=Na＋Nb－Nab。

例1：一個班有48人，班主任在班會上問：「誰做完語文作業？請舉手！」有37人舉手。又問：「誰做完數學作業？請舉手！」有42人舉手。最後問：「誰語文、數學作業都沒有做完？」沒有人舉手。求這個班語文、數學作業都完成的人數。

分析與解答 完成語文作業的有37人，完成數學作業的有42人，一共有37＋42=79人，多於全班人數。這是因為語文、數學作業都完成的人數在統計做完語文作業的人數時算過一次，在統計做完數學作業的人數時又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個班語文、數作業都完成的有：79－48=31人。

例2：某班有36個同學在一項測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的有23人，兩題都答對的有15人。問多少個同學兩題都答得不對？

分析與解答：已知答對第一題的有25人，兩題都答對的有15人，可以求出只答對第一題的有25－15=10人。又已知答對第二題的有23人，用只答對第一題的人數，加上答對第二題的人數就得到至少有一題答對的人數：10＋23=33人。所以，兩題都答得不對的有36－33=3人。

例3：某班有56人，參加語文競賽的有28人，參加數學競賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那麼同時參加語文、數學兩科競賽的有多少人？

分析與解答：要求兩科競賽同時參加的人數，應先求出至少參加一科競賽的人數：56－25=31人，再求兩科競賽同時參加的人數：28＋27－31=24人。

例4：在1到100的自然數中，既不是5的倍數也不是6的倍數的數有多少個？

分析與解答：從1到100的自然數中，減去5或6的倍數的個數。從1到100的自然數中，5的倍數有100÷5=20個，6的倍數有16個（100÷6=16……4），其中既是5的倍數又是6的倍數（即5和6的公倍數）的數有3個（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍數的個數是16＋20－3=33個，既不是5的倍數又不是6的倍數的數的個數是：100－33=67個。

例5：光明小學舉辦學生書法展覽。學校的櫥窗裡展出了每個年級學生的書法作品，其中有24幅不是五年級的，有22幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有10幅，其他年級參展的書法作品共有多少幅？

分析與解答：由題意知，24幅作品是一、二、三、四、六年級參展作品的總數，22幅是一、二、三、四、五年級參展作品的總數。24＋22=46幅，這是一個五、六年級和兩個一、二、三、四年級參展的作品數，從其中去掉五、六兩個年級共參展的10幅作品，即得到兩個一、二、三、四年級參展作品的總數，再除以2，即可求出其他年級參展作品的總數。（24＋22－10）÷2=18幅。