解析幾何中建立目標函數的十種方法

解析幾何最值問題能有機地綜合中學數學各科知識，一直是高考的一個重要內容，是中學數學的一個難點，也是考生的一個主要失分點。總體上講，求解解析幾何最值問題不外乎兩種方法：一是代數方法，即建立目標函數(目標函數是指所關心的目標(某一變量)與相關的因素(某些變量)的函數關係)求解；二是幾何方法，即利用圖形直觀求解。大多數解析幾何最值問題可通過建立目標函數求解，那麼應當如何建立目標函數？首先，建立目標函數時，應根據題意分清題中的量哪些是變量，哪些是常量；其次，選擇因變量和自變量的關係，即根據所給條件建立函數關係式。目標函數建立得當，常能簡化解題過程。筆者通過實踐，歸納總結了建立目標函數求解解析幾何最值問題的十種常用策略。建立目標函數是代數方法，但數與形不能隔裂分家。只有數與形的完美結合，才能領會數學的真諦。

分割是一種化整為零的轉化方法。在解析幾何中某些與面積有關的最值問題，恰當使用分割法，往往會獲得獨具特色的簡捷解法。

圓、橢圓、雙曲線、拋物線、都具有對稱性，在求解有關最值問題時，挖掘潛在的對稱性解題，可減少運算量，簡明、快捷、優美地獲解。

圓是解析幾何的基本圖形之一，它既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。在解決與圓有關的問題時，善於抓住圓心，可使問題迅速得到解決。

直線、圓、橢圓、雙曲線的參數方程都是三角形式，因此有關最值問題，可以藉助它們的參數方程，把問題轉化為三角函數最值問題，靈活運用三角函數知識，問題迎刃而解。

把解析幾何最值問題轉化為平面幾何中的最值問題，能充分利用平面幾何技巧性強，運算量小的特點。利用點或線段在坐標軸上的正投影來解題，化兩點間的距離（二維）為有向線段的數量的絕對值（一維），思路簡潔、運算簡便。

圓錐曲線的定義刻畫了動點與定點(或定直線)距離之間的定量關係，因此與距離有關的解析幾何最值問題，藉助定義，往往能化難為易。

與旋轉有關的解析幾何最值問題，藉助複數建立目標函數，往往是很方便的。

解析幾何中的許多最值問題，可建立二元目標函數，歸結為幾個正變量和的最小值或積的最大值，創造性地利用基本不等式，直達彼岸。

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